inverse funksjon

[Gjest]

f(x)= (2x^3)+(2x^2)+2x Df=R

Hva er f(1)? vis at f har en invers funksjon f^(-1), og at f^(-1) er deriverbar på hele R.
Finn f^(-1)'(6). Skjønner ikke prosessen her. Noen som kunne ha vist fremgangsmetoden her?

[DennisChristensen]

f(x)= (2x^3)+(2x^2)+2x Df=R

Hva er f(1)? vis at f har en invers funksjon f^(-1), og at f^(-1) er deriverbar på hele R.
Finn f^(-1)'(6). Skjønner ikke prosessen her. Noen som kunne ha vist fremgangsmetoden her?

For å vise at $f^{-1}$ eksisterer, må vi vise at $f$ er bijektiv. Ettersom $f$ er kontinuerlig, er dette ekvivalent med å vise at $f$ er strengt voksende eller strengt avtakende. Vet du hvordan du gjør dette for en deriverbar funksjon?

Vi bruker kjerneregelen til å utlede et uttrykk for den deriverte av $f^{-1}$ (hvis den eksisterer):
$$
1 = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}x = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}f^{-1}(f(x)) = \frac{\mbox{d}f^{-1}}{\mbox{d}f(x)}\frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}x}.
$$
Dette forteller oss at dersom $a\in\mathbb{R}$ med $f(a) = b$, har vi at
$$
(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}. (\star)
$$
Ser du nå hva som må sjekkes for å konkludere om $f^{-1}$ er deriverbar eller ikke? (Hint: Hva kan gå galt i uttrykket $(\star)$?)

For å regne ut $(f^{-1})'(6)$ bruker du det aller første oppgaven spurte om, samt $(\star)$.

[Gjest]

For å vise at f−1 eksisterer, må vi vise at f er bijektiv. Ettersom f er kontinuerlig, er dette ekvivalent med å vise at f er strengt voksende eller strengt avtakende. Vet du hvordan du gjør dette for en deriverbar funksjon?

Vet ikke hvordan man finner om f er strengt monoton. Skal man først derivere funksjonen, for å så sjekke om denne er større eller mindre enn 0 ? På forhand takk!

[Aleks855]

For å vise at f−1 eksisterer, må vi vise at f er bijektiv. Ettersom f er kontinuerlig, er dette ekvivalent med å vise at f er strengt voksende eller strengt avtakende. Vet du hvordan du gjør dette for en deriverbar funksjon?

Vet ikke hvordan man finner om f er strengt monoton. Skal man først derivere funksjonen, for å så sjekke om denne er større eller mindre enn 0 ? På forhand takk!

Ja, det er en måte å gjøre det på. Hvis du kan bevise at $f'(x) > 0$ for alle $x$, så har du bevist at den er strengt voksende. Ditto med $<$ for strengt synkende.