R2- Induksjonsbevis- trinn to

[Banan]

Hei.

Jeg lurte på om noen kunne hjelpe meg med induksjonsbevis når det gjelder summen av rekker som er verken aritmetiske eller geometriske.

Jeg sliter kun med trinn to delen der:

om det var aritmetisk ville trinn to ha vært da: S(t+1)=S(t)+a(t+1) som er da S(t+1)= S(t) + (a(n)+d)
og om det var geometrisk ville det ha vært: S(t+1)=S(t)+a(t+1) som er da S(t+1)= S(t) + a(n)*k

Hva skjer da med a(t+1) delen dersom det ikke gjelder verken aritmetiske eller geometriske rekker?


Skal jeg bare erstatte t-en i det jeg skal bevise med t+1?
Tusen takk

[Nebuchadnezzar]

Kan du gi ett konkret eksempel på en slik oppgave du arbeider med, da blir det kanskje litt enklere å hjelpe deg.

Men i utgangspunktet skal det bare være å bytte ut hver plass det står $t$ med $t+1$ ja =)

[Banan]

Kan du gi ett konkret eksempel på en slik oppgave du arbeider med, da blir det kanskje litt enklere å hjelpe deg.

Men i utgangspunktet skal det bare være å bytte ut hver plass det står $t$ med $t+1$ ja =)

HEI, det var en oppgave der:

P(n): 1/(1*2) + 1/(2*3)+ .... 1/(n*(n+1) = n/(n+1)

I trinn to delen, så sa jeg at a(t+1)= 1(t+1*(t+1+1) og det funket helt greit.
Det jeg lurer på er om det er dette jeg skal alltid gjøre. Er det altså en fast regel på dette?

Tusen takk!

[Nebuchadnezzar]

Ser ut som du roter litt med parentesene her, så er litt vanskelig å forstå hva du mener. Jeg liker å tenke på det slik:

Grunnsteget:

$VS = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ mens $HS = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

Hvor VS og HS står for henholdsvis høyre og venstre side av $P(n)$ eller påstanden vi ønsker å bekrefte.
Merk at her setter jeg ikke venstre og høyre side lik hverandre, fordi det vet jo vi ikke enda om stemmer. Eller det er det vi ønsker finne ut at stemmer.

Induksjonshypotesen: Her antar jeg at $P(k)$ stemmer for en tilfeldig valgt $k$. Her kan du tenke på $k$ som $1$, $5$, $100$ eller et annen valgfritt tall. Altså antar vi at følgende holder

$ \hspace{1cm} \displaystyle
\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{k(k+1)} = \frac{k}{k + 1}.
$

Induksjonssteget: Så nå ønsker vi å vise at gitt at det holder for $P(k)$ så holder også $P(k+1)$. Her kommer nok den biten du lurte på

$ \hspace{1cm} \displaystyle HS = \frac{(n+1)}{(n+1) + 1} = \frac{n + 1}{n + 2}$

Mens den andre siden så blir det

$ \hspace{1cm} \displaystyle
\begin{align*}
VS & = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{[k+1]([k+1] + 1)} \\
& = \left[ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{k(k+1)} \right] + \frac{1}{(k+1)(k+2)}.
\end{align*}
$

Hvor du kanskje ser at du kan bruke induksjonshypotensen (altså at vi antok at det stemte for $n = k$) på det inne i parentesen til å fullføre beviset. Altså å vise at $HS$ og $VS$ er like.
For å gjøre en lang historie kort så byttet jeg ut hver plass det stod $n$ med $k + 1$

[Banan]

Ser ut som du roter litt med parentesene her, så er litt vanskelig å forstå hva du mener. Jeg liker å tenke på det slik:

Grunnsteget:

$VS = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ mens $HS = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

Hvor VS og HS står for henholdsvis høyre og venstre side av $P(n)$ eller påstanden vi ønsker å bekrefte.
Merk at her setter jeg ikke venstre og høyre side lik hverandre, fordi det vet jo vi ikke enda om stemmer. Eller det er det vi ønsker finne ut at stemmer.

Induksjonshypotesen: Her antar jeg at $P(k)$ stemmer for en tilfeldig valgt $k$. Her kan du tenke på $k$ som $1$, $5$, $100$ eller et annen valgfritt tall. Altså antar vi at følgende holder

$ \hspace{1cm} \displaystyle
\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{k(k+1)} = \frac{k}{k + 1}.
$

Induksjonssteget: Så nå ønsker vi å vise at gitt at det holder for $P(k)$ så holder også $P(k+1)$. Her kommer nok den biten du lurte på

$ \hspace{1cm} \displaystyle HS = \frac{(n+1)}{(n+1) + 1} = \frac{n + 1}{n + 2}$

Mens den andre siden så blir det

$ \hspace{1cm} \displaystyle
\begin{align*}
VS & = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{[k+1]([k+1] + 1)} \\
& = \left[ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{k(k+1)} \right] + \frac{1}{(k+1)(k+2)}.
\end{align*}
$

Hvor du kanskje ser at du kan bruke induksjonshypotensen (altså at vi antok at det stemte for $n = k$) på det inne i parentesen til å fullføre beviset. Altså å vise at $HS$ og $VS$ er like.
For å gjøre en lang historie kort så byttet jeg ut hver plass det stod $n$ med $k + 1$

Hehe, ja, det var det jeg mente. Tusen takk.