Matematikk R2 - Trigonometri (funksjonsdrøfting)

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Matematikk R2 - Trigonometri (funksjonsdrøfting)

Innlegg wuba » 05/11-2018 18:24

Hei! (Kjapt spørsmål - står nederst.)

Har funksjonen [tex]f(x)=cos^3(x)[/tex].

Skal i en deloppgave finne ekstremalpunktene til funksjonen (ved regning). Deriverer derfor funksjonen, løser likningen [tex]f'(x)=0[/tex] og får da løsningene: [tex]x=-\frac{3\pi}{2}[/tex]

[tex]x=-\pi[/tex]

[tex]x=-\frac{\pi}{2}[/tex]

[tex]x=0[/tex]

[tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex]

[tex]x=\pi[/tex]

[tex]x=\frac{3\pi}{2}[/tex]

Dette stemmer med løsningsforslaget. Så utføres deretter andrederivert-testen, som gir at for 4 av disse x-verdiene, vil [tex]f''(x)=0[/tex]. Så står det videre at "dermed er disse 4 punktene terrassepunkter."

Hvordan kan en si dette, uten videre? Finner ingen plass i hverken R1/R2-boken som sier noe om dette. Takker for hjelp
wuba offline

Re: Matematikk R2 - Trigonometri (funksjonsdrøfting)

Innlegg geheffe » 22/07-2019 16:52

For at vi skal ha et ekstremalpunkt (topp eller bunn) må den deriverte endre fortegn i punktet. Hvis den deriverte går fra positiv til negativ betyr det at funksjonen vokser før punktet og minker etter punktet, slik at vi får et toppunkt. Rundt et bunnpunkt vil dermed den deriverte gå fra negativ til positiv.

En enkel måte å finne ut om den deriverte skifter fortegn er å bruke andrederiverttesten. Hvis [tex]f'(x)[/tex] skal gå fra positiv til negativ, må jo logisk nok [tex]f''(x)[/tex] være negativ i punktet (fordi [tex]f'(x)[/tex] synker). Motsatt vil vi ha et bunnpunkt (den deriverte går fra negativ til positiv) hvis [tex]f''(x)[/tex] er positiv. Hvis [tex]f''(x)[/tex] derimot er lik null i punktet, vil ikke den deriverte skifte fortegn i punktet, bare tangere x-aksen. Da får man et terassepunkt, siden funksjonen enten vokser eller minker både rett før og rett etter punktet.
geheffe offline
Noether
Noether
Innlegg: 35
Registrert: 24/05-2019 14:11
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 23 gjester