Side 1 av 1

Matematikk R2 - Trigonometri (funksjonsdrøfting)

InnleggSkrevet: 05/11-2018 18:24
wuba
Hei! (Kjapt spørsmål - står nederst.)

Har funksjonen [tex]f(x)=cos^3(x)[/tex].

Skal i en deloppgave finne ekstremalpunktene til funksjonen (ved regning). Deriverer derfor funksjonen, løser likningen [tex]f'(x)=0[/tex] og får da løsningene: [tex]x=-\frac{3\pi}{2}[/tex]

[tex]x=-\pi[/tex]

[tex]x=-\frac{\pi}{2}[/tex]

[tex]x=0[/tex]

[tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex]

[tex]x=\pi[/tex]

[tex]x=\frac{3\pi}{2}[/tex]

Dette stemmer med løsningsforslaget. Så utføres deretter andrederivert-testen, som gir at for 4 av disse x-verdiene, vil [tex]f''(x)=0[/tex]. Så står det videre at "dermed er disse 4 punktene terrassepunkter."

Hvordan kan en si dette, uten videre? Finner ingen plass i hverken R1/R2-boken som sier noe om dette. Takker for hjelp

Re: Matematikk R2 - Trigonometri (funksjonsdrøfting)

InnleggSkrevet: 22/07-2019 16:52
geheffe
For at vi skal ha et ekstremalpunkt (topp eller bunn) må den deriverte endre fortegn i punktet. Hvis den deriverte går fra positiv til negativ betyr det at funksjonen vokser før punktet og minker etter punktet, slik at vi får et toppunkt. Rundt et bunnpunkt vil dermed den deriverte gå fra negativ til positiv.

En enkel måte å finne ut om den deriverte skifter fortegn er å bruke andrederiverttesten. Hvis [tex]f'(x)[/tex] skal gå fra positiv til negativ, må jo logisk nok [tex]f''(x)[/tex] være negativ i punktet (fordi [tex]f'(x)[/tex] synker). Motsatt vil vi ha et bunnpunkt (den deriverte går fra negativ til positiv) hvis [tex]f''(x)[/tex] er positiv. Hvis [tex]f''(x)[/tex] derimot er lik null i punktet, vil ikke den deriverte skifte fortegn i punktet, bare tangere x-aksen. Da får man et terassepunkt, siden funksjonen enten vokser eller minker både rett før og rett etter punktet.