integral
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
tuddlerie
Hei, jeg vett at integralet til 1/y = ln |y| men hvorfor er ikke f.eks. integralet til 1/y^2 = ln|y|^2 . Hvorfor blir integralet til 1/y^2 = 1/y? Er det fordi hvis man hadde brukt samme metode på integralet til 1/y ville dette bli ugyldig pga dette ville blitt 0? 1/1-1y^2 = 0?
Ja, du har rett i at vi ikke kan bruke potensregelen for å integrere $\frac1y$ der, fordi vi får null-nevner. Spørsmålet derfra er jo "er det da slik at integralet ikke har en løsning, eller finnes det en annen metode?"
Hvis du vil prøve å bruke den samme regelen, så må vi først tenke på at det som står i nevneren er ikke bare variabelen, men en funksjon av variabelen. En "indre" funksjon.
La $u = y^2$. Da har vi integralet $\int \frac{1}{y^2}\mathrm dy = \int\frac{1}{u}\mathrm dy$ og vi har $\frac{\mathrm du}{\mathrm dy} = 2y \Rightarrow dy = \mathrm du/2y$.
Siden $u = y^2$ har vi $y = \sqrt u$.
$\int \frac{1}{u \cdot 2y} \mathrm du = \int \frac{1}{2u\sqrt u}\mathrm du$ blir altså en omskriving av integralet, og ting lar seg regne ut herfra ved bruk av potensregelen og litt algebra.
Hvis du vil prøve å bruke den samme regelen, så må vi først tenke på at det som står i nevneren er ikke bare variabelen, men en funksjon av variabelen. En "indre" funksjon.
La $u = y^2$. Da har vi integralet $\int \frac{1}{y^2}\mathrm dy = \int\frac{1}{u}\mathrm dy$ og vi har $\frac{\mathrm du}{\mathrm dy} = 2y \Rightarrow dy = \mathrm du/2y$.
Siden $u = y^2$ har vi $y = \sqrt u$.
$\int \frac{1}{u \cdot 2y} \mathrm du = \int \frac{1}{2u\sqrt u}\mathrm du$ blir altså en omskriving av integralet, og ting lar seg regne ut herfra ved bruk av potensregelen og litt algebra.
