Derivasjon

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
UnicornSpaceship
Noether
Noether
Innlegg: 30
Registrert: 23/10-2018 13:06

Hei, er det noen her som kan hjelpe meg med å forstå sammenhengene i fila under? Jeg tegnet først grafen til xe^x, for så å derivere den to ganger, det er de to rødere grafene til venstre. I midten er den grønne og originale funksjonen. Mot høyre intregrerte jeg visst (?) ved hjelp av CAS. Symmetrien her fascinerte meg, og jeg så at dersom jeg deriverte de integrerte funksjonene, altså de blåe mot høyre, så kunne jeg få funksjonen jeg startet med. Jeg vet at om jeg deriverer funksjonen så finner jeg funksjonens vekstfart, og deriverer jeg den igjen får jeg den derivertes vekstfart. Men hva kan egentlig det på andre siden av skalaen, de integrerte, fortelle meg? Noen som har noe kunnskap å dele med meg? :D
En funksjon sammen med dens deriverte
En funksjon sammen med dens deriverte
Funksjon-sammenhenger.PNG (87.83 kiB) Vist 1302 ganger
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Du er inne på et veldig interessant og sentralt tema i analysen. Det er mye å forklare, men kort fortalt, så vil integralet av en funksjon gi et uttrykk for størrelsen på arealet mellom x-aksen og funksjonens graf.

Jeg har laget en god del videoer om akkurat dette, begynnende med en helt elementær introduksjon til hva integrasjon er.

https://udl.no/p/matematikk-blandet/integrasjon

Det kan være et godt startsted i alle fall. Det er ikke meninga å bare gi et "se disse videoene"-svar, men svaret på spørsmålet ditt er bokstavelig talt noe som fyller hele bøker, så det blir litt vanskelig å svare på det her. Hvis du har mer spesifikke spørsmål underveis mens du ser videoene, så er det selvfølgelig veldig fint om du kommer tilbake hit og spør. :)
Bilde
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Supplementerer Aleks sitt gode svar med litt mer fakta, samt litt historie. Anbefaler for øvrig videoene hans; de er veldig gode!

Den delen av matematikk som omhandler den deriverte og den integrerte kalles kalkulus (også noen ganger analyse, men det er imo litt bredere). Hovedteoremet i denne delen av matematikken kalles Analysens fundamentalteorem. Det er flere måter å uttrykke det på, men til syvende og sist sier den at integrasjon og derivasjon er omvendte operasjoner - slik som du har funnet ut av selv! Dette teoremet er noe av det Newton og Leibniz er aller mest kjent for, da de oppdaget det uavhengig av hverandre på 1600-tallet. Et korollar (det vil si noe som følger ganske direkte fra et teorem) som følger fort av Analysens fundamentalteorem er hvordan man kan bruke det til å finne arealet under grafen.

Vi skriver $\int_a^b f(x)$ for å betegne arealet under grafen til $f(x)$ mellom $a$ og $b$. Man kan tenke på dette som å dele opp arealet under grafen i mange små rektangler og summere arealet av disse. Logisk nok - flere rektangler, mer nøyaktighet. Selv om Newton og Leibniz viste analysens fundamentalteorem på 1600-tallet, var det langt ifra formelt nok til dagens standard for matematikk. Måten teoremet rigorøst (det vil si et formelt bevis) vises på i dag er gjerne ved å først introdusere Darbouxsummer, etter den franske matematikeren Jean Gaston Darboux. Uten å komme inn på detaljene, er disse kort og godt måter å summere opp arealet av oppdelte rektangler under grafen. Deretter introduseres Darbouxintegralet og noen andre teorem som man trenger etableres, før man viser analysens fundamentalteorem. Typisk etterpå er å vise at Darbouxintegralet og Riemannintegralet (etter den tyske matematikeren Bernhard Riemann) er ekvivalente. Sistnevnte viser seg å være lettere å bruke praktisk, men kronglete i bevis enn Darbouxintegralet. Det kan gått hende at dette går litt over hodet på deg, men det er ment som en teaser på hva du har i møte hvis du velger å studere matematikk videre etter VGS! Hvis du er interessert i detaljene, så har jeg skrevet et notat om alt nevnt over her, inkludert et komplett bevis for analysens fundamentalteorem.

I R2 blir man introdusert til integralet for første gang. Der lærer man om hva det bestemte integralet og det ubestemte integralet representerer, og om grunnleggende integrasjonsteknikker. I motsetning til derivasjon, som vi (nesten) alltid kan utføre uavhengig av funksjonen, er det ikke alle funksjoner vi kan integrere, og noen er veldig vanskelige! Et kjent sitat, fra den norske matematikeren Viggo Brun lyder: "Derivasjon er håndverk, integrasjon er kunst!", og dette får vel fram poenget!

Som en liten bonus har jeg inkludert et ikke godt nok bevis for analysens fundamentalteorem under. Selv om det ikke holder, så får det veldig godt fram konseptuelt hvorfor derivasjon og integrasjon er omvendte operasjoner. Så for å starte, se på det vedlagte bildet.

Bilde

La oss si at vi ønsker å finne arealet under grafen mellom $x$ og $x+h$. Vi vet at arealet er større en $f(x)\cdot(x+h-x)$ (se hvilket areal dette tilsvarer på grafen), og samtidig at arealet er mindre enn $f(x+h) \cdot (x+h-x)$. Kall arealet under grafen for funksjonen $A(x)$. Da er altså det arealet vi ønsker å finne under grafen lik $A(x+h)-A(x)$ (hvorfor?). Oppsummert har vi følgende ulikheter: $$f(x)\cdot h \leq A(x+h)-A(x) \leq f(x+h) \cdot h$$ Deles nå på $h$ overalt får vi at $$f(x) \leq \frac{A(x+h)-A(x)}{h} \leq f(x+h)$$ Se i midten av ulikheten! Dette ligner jo veldig mye på definisjonen av den deriverte. Hvis vi nå lar $h\to 0$ får vi at $$\lim_{h \to 0} f(x) \leq \lim_{h \to 0 } \frac{A(x+h)_A(x)}{h} \leq \lim_{h \to 0} f(x+h) \\ \implies f(x) \leq A'(x) \leq f(x)$$ Siden $A'(x)$ er skvist mellom det samme uttrykket, må vi ha at $A'(x)=f(x)$. Altså er den deriverte av arealet under grafen lik grafen selv - eller litt mer aktuelt sagt: vi kan få et uttrykk for arealet under grafen ved å antiderivere $f(x)$ - også kjent som å integrere.
Svar