Abelfinalen 2014/15 1b)

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Abelfinalen 2014/15 1b)

Innlegg Markus » 26/12-2018 14:59

Jeg lurer litt på angående følgende oppgave: Finn alle funksjoner $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ som tilfredstiller $x^2f(yf(x))=y^2f(x)f(f(x))$ for alle reelle tall $x,y$.

Ved å sette $y=1$ får vi $x^2f(f(x))=f(x)f(f(x))$, så hvis vi antar $f(f(x))\neq 0$ får vi umiddelbart $f(x)=x^2$. Det er også lett å se at $f(x)=0$ tilfredstiller likningen. Altså er $f(x)=0$ eller $f(x)=x^2$ de funksjonene som tilfredstiller funksjonallikningen. Dette stemmer overrens med LF, men allikevel blinker det mange varsellamper i hodet mitt.

I LF bruker de et mye lengre argument for at de samme funksjonene er løsningene. Jeg lette også litt tilbake i nøtteforumet og fant et omtrent like langt argument på de samme løsningene på denne oppgaven. I tillegg er dette en Abelfinaleoppgave, og jeg tviler på at den er så enkel. Jeg føler derfor jeg har oversett noe som ikke gjør dette beviset vanntett i det hele tatt, men jeg klarer ikke å se det selv. Derfor skulle jeg gjerne hatt noen andre øyne på dette, og påpekt feilen.

Takk på forhånd!
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 739
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Abelfinalen 2014/15 1b)

Innlegg Gustav » 26/12-2018 15:17

Markus skrev:Jeg lurer litt på angående følgende oppgave: Finn alle funksjoner $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ som tilfredstiller $x^2f(yf(x))=y^2f(x)f(f(x))$ for alle reelle tall $x,y$.

Ved å sette $y=1$ får vi $x^2f(f(x))=f(x)f(f(x))$, så hvis vi antar $f(f(x))\neq 0$ får vi umiddelbart $f(x)=x^2$. Det er også lett å se at $f(x)=0$ tilfredstiller likningen. Altså er $f(x)=0$ eller $f(x)=x^2$ de funksjonene som tilfredstiller funksjonallikningen. Dette stemmer overrens med LF, men allikevel blinker det mange varsellamper i hodet mitt.


La $A=\{x\in \mathbb{R} | f(x)=0 \}=ker(f)$. La $B=\{x\in\mathbb{R} | f(x)\in A \}$. Det eneste du har vist er at $f(x)=x^2$ for alle $x\not \in B$ er en løsning (når du antar $f(f(x))\neq 0$). Så det som mangler i beviset ditt er å vise hva $f(x)$ er når $x\in B$. Det er her tilleggsargumentene er nødvendige for å få til en adekvat løsning.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4256
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Abelfinalen 2014/15 1b)

Innlegg Markus » 26/12-2018 15:38

Gustav skrev:La $A=\{x\in \mathbb{R} | f(x)=0 \}=ker(f)$. La $B=\{x\in\mathbb{R} | f(x)\in A \}$. Det eneste du har vist er at $f(x)=x^2$ for alle $x\not \in B$ er en løsning (når du antar $f(f(x))\neq 0$). Så det som mangler i beviset ditt er å vise hva $f(x)$ er når $x\in B$. Det er her tilleggsargumentene er nødvendige for å få til en adekvat løsning.

Hjertelig takk - det gir mening! Hva betyr notasjonen $\ker(f)$? Er det nullrommet til $f$?
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 739
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Abelfinalen 2014/15 1b)

Innlegg Gustav » 26/12-2018 15:48

ker(f) er kjernen (engelsk: kernel) til f, som er det samme som nullrommet i lineær algebra. Kernel er et mer generelt konsept enn begrepet nullrom. https://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_(algebra)
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4256
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google [Bot] og 17 gjester