Abelfinalen 2014/15 1b)
Lagt inn: 26/12-2018 14:59
Jeg lurer litt på angående følgende oppgave: Finn alle funksjoner $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ som tilfredstiller $x^2f(yf(x))=y^2f(x)f(f(x))$ for alle reelle tall $x,y$.
Ved å sette $y=1$ får vi $x^2f(f(x))=f(x)f(f(x))$, så hvis vi antar $f(f(x))\neq 0$ får vi umiddelbart $f(x)=x^2$. Det er også lett å se at $f(x)=0$ tilfredstiller likningen. Altså er $f(x)=0$ eller $f(x)=x^2$ de funksjonene som tilfredstiller funksjonallikningen. Dette stemmer overrens med LF, men allikevel blinker det mange varsellamper i hodet mitt.
I LF bruker de et mye lengre argument for at de samme funksjonene er løsningene. Jeg lette også litt tilbake i nøtteforumet og fant et omtrent like langt argument på de samme løsningene på denne oppgaven. I tillegg er dette en Abelfinaleoppgave, og jeg tviler på at den er så enkel. Jeg føler derfor jeg har oversett noe som ikke gjør dette beviset vanntett i det hele tatt, men jeg klarer ikke å se det selv. Derfor skulle jeg gjerne hatt noen andre øyne på dette, og påpekt feilen.
Takk på forhånd!
Ved å sette $y=1$ får vi $x^2f(f(x))=f(x)f(f(x))$, så hvis vi antar $f(f(x))\neq 0$ får vi umiddelbart $f(x)=x^2$. Det er også lett å se at $f(x)=0$ tilfredstiller likningen. Altså er $f(x)=0$ eller $f(x)=x^2$ de funksjonene som tilfredstiller funksjonallikningen. Dette stemmer overrens med LF, men allikevel blinker det mange varsellamper i hodet mitt.
I LF bruker de et mye lengre argument for at de samme funksjonene er løsningene. Jeg lette også litt tilbake i nøtteforumet og fant et omtrent like langt argument på de samme løsningene på denne oppgaven. I tillegg er dette en Abelfinaleoppgave, og jeg tviler på at den er så enkel. Jeg føler derfor jeg har oversett noe som ikke gjør dette beviset vanntett i det hele tatt, men jeg klarer ikke å se det selv. Derfor skulle jeg gjerne hatt noen andre øyne på dette, og påpekt feilen.
Takk på forhånd!