Hvordan kan jeg finne de eksakte løsningene mellom 0 og 2pi til dette uttrykket:
√3 sinx - cosx = 1
Og hvordan kan jeg finne de eksakte verdiene til sin(3pi/8) og tan(pi/24)
Eksakte løsninger/verdier R2
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
[tex]\sqrt{3}\sin(x)-\cos(x)=1[/tex] vi kan omskrive dette til en likning på formen [tex]A\sin(x \pm \phi)=1[/tex]Gjest skrev:Hvordan kan jeg finne de eksakte løsningene mellom 0 og 2pi til dette uttrykket:
√3 sinx - cosx = 1
Og hvordan kan jeg finne de eksakte verdiene til sin(3pi/8) og tan(pi/24)
Vi har en likning på formen [tex]B\sin(x)+C\cos(x)[/tex] og da vil [tex]A=\sqrt{B^2+C^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{4}=2[/tex]
Da setter vi det utenfor en parentes og oppnår uttrykket [tex]2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)-\frac{1}{2}\cos(x))=1[/tex]
Nå ønsker vi å finne en [tex]\phi[/tex] som tilfredsstiller kravene [tex]\cos(\phi)=\frac{\sqrt{3}}{2}\wedge\sin(\phi)=\frac{1}{2}\Rightarrow \phi=\frac{\pi}{6}[/tex]
Fra reglene om summering av vinkler ([tex]\sin(u\pm v)[/tex]) får vi dermed at [tex]\sqrt{3}\sin(x)-\cos(x)=2\sin\left (x-\frac{\pi}{6} \right )[/tex]
Så løser vi likningen [tex]2\sin(x-\frac{\pi}{6})=1, \ \ \ 0\leq x \leq 2\pi[/tex] Som er relativt elementært og noe jeg antar du får til selv.
-
Mattebruker
Eksakt verdi til tan(pi/24)
Ser lett at [tex]\frac{\pi }{12}[/tex] = [tex]\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{6}[/tex]
Vi har da at
tan( [tex]\frac{\pi }{12}[/tex] ) = [tex]\frac{tan\frac{\pi }{4} - tan(\frac{\pi }{6})}{1+ tan\frac{\pi }{4}\cdot tan\fr{\pi }{6}}[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}[/tex]
Sett så tan[tex]\frac{\pi }{24}[/tex] = x
Den ukjende x må oppfyle likninga
tan[tex]\frac{\pi }{12}=[/tex]
tan(2[tex]\cdot[/tex][tex]\frac{\pi }{24}[/tex] ) = [tex]\frac{2\cdot x}{1 - x^{2}}[/tex]
Denne likninga løyser vi i CAS og får x = [tex]\sqrt{6} + \sqrt{2} - \sqrt{3} - 2[/tex]
Svar:[/b tan[tex]\frac{\pi }{24}[/tex] = ovanståande x-verdi
Ser lett at [tex]\frac{\pi }{12}[/tex] = [tex]\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{6}[/tex]
Vi har da at
tan( [tex]\frac{\pi }{12}[/tex] ) = [tex]\frac{tan\frac{\pi }{4} - tan(\frac{\pi }{6})}{1+ tan\frac{\pi }{4}\cdot tan\fr{\pi }{6}}[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}[/tex]
Sett så tan[tex]\frac{\pi }{24}[/tex] = x
Den ukjende x må oppfyle likninga
tan[tex]\frac{\pi }{12}=[/tex]
tan(2[tex]\cdot[/tex][tex]\frac{\pi }{24}[/tex] ) = [tex]\frac{2\cdot x}{1 - x^{2}}[/tex]
Denne likninga løyser vi i CAS og får x = [tex]\sqrt{6} + \sqrt{2} - \sqrt{3} - 2[/tex]
Svar:[/b tan[tex]\frac{\pi }{24}[/tex] = ovanståande x-verdi
-
Mattebruker
Eksakt verdi sin( [tex]\frac{3\pi }{8}[/tex] )
Kan løyse problemet ved å bruke dette verktøyet( formelapparatet ) :
( 1 ) sin( u + v ) = sinu cosv + cosu sinv
( 2 ) sin( 2u ) = 2 sinu cosv
( 3 ) cos( 2u ) = cos[tex]^{2}[/tex]u - sin[tex]^{2}[/tex]u
Registrerer at sin( [tex]\frac{3\pi }{8}[/tex] ) = sin( [tex]\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{8}[/tex] )
Sett sin( [tex]\frac{\pi }{8}[/tex] ) = x og cos( [tex]\frac{\pi }{8}[/tex] ) = [/b]y[/b]
Finn x og y
Formel ( 2 ) gir sin( [tex]\frac{\pi }{4}[/tex] ) = sin(2 [tex]\frac{\pi }{8}[/tex] ) = 2 x y = [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]
Formel ( 3 ) gir cos( [tex]\frac{\pi }{4}[/tex] ) = cos( 2 [tex]\frac{\pi }{8}[/tex] ) = y[tex]^{2} - x^{2}[/tex] = [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]
Dette likn.settet løyser vi i CAS og får x = [tex]\frac{\sqrt{-\sqrt{2}+ 2}}{2}[/tex] og y = [tex]\frac{\sqrt{\sqrt{2}+ 2}}{2}[/tex]
Ved innsetting i formel ( 1 ) får vi sin( [tex]\frac{3\pi }{8}[/tex] ) = sin( [tex]\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{8}[/tex] )
Kan løyse problemet ved å bruke dette verktøyet( formelapparatet ) :
( 1 ) sin( u + v ) = sinu cosv + cosu sinv
( 2 ) sin( 2u ) = 2 sinu cosv
( 3 ) cos( 2u ) = cos[tex]^{2}[/tex]u - sin[tex]^{2}[/tex]u
Registrerer at sin( [tex]\frac{3\pi }{8}[/tex] ) = sin( [tex]\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{8}[/tex] )
Sett sin( [tex]\frac{\pi }{8}[/tex] ) = x og cos( [tex]\frac{\pi }{8}[/tex] ) = [/b]y[/b]
Finn x og y
Formel ( 2 ) gir sin( [tex]\frac{\pi }{4}[/tex] ) = sin(2 [tex]\frac{\pi }{8}[/tex] ) = 2 x y = [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]
Formel ( 3 ) gir cos( [tex]\frac{\pi }{4}[/tex] ) = cos( 2 [tex]\frac{\pi }{8}[/tex] ) = y[tex]^{2} - x^{2}[/tex] = [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]
Dette likn.settet løyser vi i CAS og får x = [tex]\frac{\sqrt{-\sqrt{2}+ 2}}{2}[/tex] og y = [tex]\frac{\sqrt{\sqrt{2}+ 2}}{2}[/tex]
Ved innsetting i formel ( 1 ) får vi sin( [tex]\frac{3\pi }{8}[/tex] ) = sin( [tex]\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{8}[/tex] )
-
Mattebruker
Løysinga i mitt førre innlegg var unødig tungvint. Beklager !
Alternativ og enklare løying:
sin( [tex]\frac{3\pi }{8}[/tex] ) = cos( [tex]\frac{\pi }{2} - \frac{3\pi }{8}[/tex] ) = cos( [tex]\frac{\pi }{8}[/tex] ) = [tex]\frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2}[/tex]
Alternativ og enklare løying:
sin( [tex]\frac{3\pi }{8}[/tex] ) = cos( [tex]\frac{\pi }{2} - \frac{3\pi }{8}[/tex] ) = cos( [tex]\frac{\pi }{8}[/tex] ) = [tex]\frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2}[/tex]
-
Gjest
Kay skrev:[tex]\sqrt{3}\sin(x)-\cos(x)=1[/tex] vi kan omskrive dette til en likning på formen [tex]A\sin(x \pm \phi)=1[/tex]Gjest skrev:Hvordan kan jeg finne de eksakte løsningene mellom 0 og 2pi til dette uttrykket:
√3 sinx - cosx = 1
Og hvordan kan jeg finne de eksakte verdiene til sin(3pi/8) og tan(pi/24)
Vi har en likning på formen [tex]B\sin(x)+C\cos(x)[/tex] og da vil [tex]A=\sqrt{B^2+C^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{4}=2[/tex]
Da setter vi det utenfor en parentes og oppnår uttrykket [tex]2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)-\frac{1}{2}\cos(x))=1[/tex]
Nå ønsker vi å finne en [tex]\phi[/tex] som tilfredsstiller kravene [tex]\cos(\phi)=\frac{\sqrt{3}}{2}\wedge\sin(\phi)=\frac{1}{2}\Rightarrow \phi=\frac{\pi}{6}[/tex]
Fra reglene om summering av vinkler ([tex]\sin(u\pm v)[/tex]) får vi dermed at [tex]\sqrt{3}\sin(x)-\cos(x)=2\sin\left (x-\frac{\pi}{6} \right )[/tex]
Så løser vi likningen [tex]2\sin(x-\frac{\pi}{6})=1, \ \ \ 0\leq x \leq 2\pi[/tex] Som er relativt elementært og noe jeg antar du får til selv.
Ahaaa, tusen takk.