matematikk.net

En andregradsfunksjon f på formen f(x)=ax^2+bx+c har bunnpunkt når x = 2 og nullpunktene x = 1 og x = 3.
Bestem funksjonsuttrykket f(x).
Hvordan løser jeg dette på del 1 uten hjelpemidler?
Vet at jeg kan faktorisere uttrykket til f(x)=a(x-2)(x-3), men hvordan finner man a?

Fra $f(x) = ax^2 + bx + c$ får vi $f'(x) = 2ax + b$.

har bunnpunkt når x = 2

Altså $f'(2) = 2a\cdot2 + b = 0$.

nullpunktene x = 1 og x = 3

$f(1) = 0$ og $f(3) = 0$.

Fra dette har du tre likninger, og tre ukjente ($a, b, c$).

Hvordan fortsetter man da?

Da får man disse likningene?

a=-b-c
b=-4a+2 (Mangler man ikke et c-ledd her)?
c=-9a-3b

Mangler man ikke et c-ledd her

Det er ikke slik at alle likningene MÅ inneholde alle variablene.

b=-4a+2

Fra $2a(2) + b = 0$ får vi heller $b = -4a$. De to andre likningene dine er riktig.

Du har startet bra. Fra den (korrigerte) andre likninga di har du at $b = -4a$.

Setter vi dette inn i den tredje likninga, får vi $c = -9a-3b = -9a -3(-4a) = -9a + 12a = 3a$. Altså har vi $c = 3a$.

Ser du noen steg videre herfra?

Ut ifra
a=-b-c
b=-4a
c=-9a-3b

får man:
c=3a
b=-4a

Men hvordan løser man et likningssett med tre ukjente?

Vet at $a = -b-c$.

Og du har klart å utrykke b og c med hensyn på a.

Vi (jeg) har forresten glemt en detalj.

har bunnpunkt når x = 2

Vi tolket dette som at $f'(x) = 0$ (som er rett), men det ville også vært sant om det sto toppunkt. At det er et bunnpunkt spesifikt betyr at $f''(x) >0$, altså at $2a > 0 \Rightarrow a>0$.

Nå har vi at $a = -b-c = 4a-3a = a$, som bare gir $a = a$, som betyr at $a$ er en såkalt "fri variabel". Likningssettet har uendelig mange løsninger, så lenge du oppfyller at $a > 0$, $b = -4a$, og $c = 3a$.

Eksempelvis kan vi velge $a = 1$ og får $ax^2 + bx + c = x^2 - 4x + 3$, som har nullpunkter for $x\in\{1, 3\}$ og bunnpunkt i $x=2$.