matematikk.net

Hvordan er det med tredje roten til -1? (evt -5 ,-4

Tredjeroten til -1, vil være et tall $x$ slik at $x^3 = -1$. Ser du ved et øyekast et tall som kan passe inn her?

Aleks855 skrev:Tredjeroten til -1, vil være et tall $x$ slik at $x^3 = -1$. Ser du ved et øyekast et tall som kan passe inn her?

. Men jeg trodde man ikke hadde lov til å ta roten av et negativt tall? Er fra R1 boka

Reidarii skrev:

Aleks855 skrev:Tredjeroten til -1, vil være et tall $x$ slik at $x^3 = -1$. Ser du ved et øyekast et tall som kan passe inn her?

. Men jeg trodde man ikke hadde lov til å ta roten av et negativt tall? Er fra R1 boka

Oddetallsrøtter, [tex]\sqrt[2n+1]{(-m)}, \ \ \ m \in \mathbb{R^+}[/tex] av negative tall er fullt mulig, men det lar seg ikke gjøre å ta partallsrøtter, [tex]\sqrt[2n]{(-m)}, \ \ \ m\in \mathbb{R^+}[/tex] av negative tall, da vil du ende opp med komplekse tall.

For kompletthetens skyld; det finnes 3 tredjerøtter av $-1$ (hvis vi utvider til $\mathbb{C}$). En av de første tingene du vil se når du starter på universitetet er såkalte komplekse tall $a+bi$, der $i=\sqrt{-1}$. Du vil også få et lite møte med de når du lærer om differensiallikninger i R2. På VGS vil man kanskje si at $x^2=-1$ er en likning uten løsning. Dette er riktignok kun fordi vi bare tillater løsningene $x$ å være i den reelle tallmengden $\mathbb{R}$. Mengden $\mathbb{C}=\{a+bi: a\in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}\}$ der $\sqrt{-1}=i$ er en kroppsutvidelse av $\mathbb{R}$, det vil blant annet si at $\mathbb{R}$ er inneholdt i $\mathbb{C}$ (og en del annet som har med ordet kropp å gjøre, men det trenger du ikke å tenke på akkurat nå). Med andre ord utvider vi bare hvilke tall vi tillater som løsning. Nå, tilbake til likningen vår $x^2=-1$. Hvis vi tar kvadratroten på begge sider ser vi at $x=\pm\sqrt{-1}$, så hvis vi tillater at $x \in \mathbb{C}$ så har likningen to løsninger $x=\pm i$. Anbefaler for øvrig denne videoserien hvis du er mer interessert: Imaginary numbers are real.

Skriv nå $z=\sqrt[3]{-1}$ for en $z \in \mathbb{C}$. Da er $z^3=-1=e^{\pi i + 2ki\pi}$ der $k\in \mathbb{Z}$. Dermed er $z=(e^{\pi i + 2ki\pi})^{1/3}=e^{\frac{\pi}{3}i + \frac{2\pi i}{3}k}$ for $k \in \mathbb{Z}$, så de tre tredjerøttene til -1 er $e^{\frac{\pi}{3}i}, e^{\pi i}, e^{\frac{5\pi}{3}}$, eventuelt skrevet på en ekvivalent måte $\frac12 + \frac{\sqrt{3}}{2}i, -1, \frac12 - \frac{\sqrt{3}}{2}i$.