Begge
Hypotesen vi ønsker å teste er at
$ \hspace{1cm}
a(1) + a(2) + \cdots a(n-1) + a(n) = S(n) \qquad (1)
$
Målet er å vise at høyre side (HS) og venstre side av likningen ovenfor er sann for ALLE heltall $n$ større enn null.
Så første steget er å sjekke om HS = VS når $n = 1$. Ved å sette inn på hver side får vi
HS: $a(1) = 3\cdot 1 - 2 = 1$ og VS: $S(1) = (3 \cdot 1^2- 1)/2 = 1$
Så utsagnet stemmer for $n = 1$. Vi trenger ikke, men dersom vi skulle ha testet om likning 1 stemte for $n = 2$ ville vi testet om
HS: $a(1) + a(2)$ og VS: $S(2)$
var like. Merk at vi aldri sammenlikner disse direkte fordi vi ikke enda vet at de er like, så å skrive $a(1) + a(2) = S(2)$ blir feil måte å sjekke at de er like på.
================
Steg 2
Her antar vi at likning 1 holder for et SPESIFIKT heltall $k \geq 1$,
$ \hspace{1cm}
a(1) + a(2) + \cdots + a(k-1) + a(k) = S(n)
$
Dette kalles for induksjonshypotesen.
Vi ønsker å vise at dette medfører (altså må vi bruke likningen jeg nettop skrev, til å vise den under) at
$ \hspace{1cm}
a(1) + a(2) + \cdots +a(k) + a(k +1) = S(k+1) \qquad \quad (2)
$
Merk igjen at for å være helt formelle vet vi ikke at likningen over stemmer, og vi burde ikke bruke den. Heller burde vi gjøre som før å vise at VS = HS.
HS: $S(k + 1) = \ldots$
VS: $\bigr[ a(1) + a(2) + \cdots +a(k) \bigl] + a(k +1) = S(k) + a(k+1) = \cdots$
Her overlater jeg det til deg å fylle inn $\cdots$ til du ser at VS og HS er like. Merk at i første overgang brukte jeg induksjonshypotesen (likning 2). Dette er samme fremgangsmåte for de fleste slike oppgaver :p