Regne ut vinkel i sirkel Periferivinkel/Sentralvinkel

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Regne ut vinkel i sirkel Periferivinkel/Sentralvinkel

Innlegg Privatisten » 08/05-2019 16:28

Oppgave 7.28b i Sigma R1 (1. utgave 2007)
I kapittelet om Periferivinkel & Sentralvinkel er det en oppgave jeg sitter helt fast på. Øver til privatisteksamen så å spørre medelever/lærere er dessverre ikke mulig. Oppgaven lyder som følger:

Punktene [tex]A, B, C, D[/tex] ligger etter hverandre på en sirkel. Buen [tex]AB[/tex] er [tex]60^o[/tex], og buen [tex]CD[/tex] er [tex]40^o[/tex]. Punktet [tex]E[/tex] er skjæringspunktet mellom [tex]AC[/tex] og [tex]BD[/tex]. Sett buen [tex]AD = 2x[/tex] og buen [tex]BC = 2y[/tex]
a) Vis at [tex]x + y = 130^o[/tex]
b) Regn ut vinkel [tex]AEB[/tex]


Mine tanker
Oppgave a) er relativt lett. Har ingen anelse hvordan man kommer fram til riktig svar på oppgave b).

Siden vinkel/bue [tex]BC[/tex] og [tex]AD[/tex] er ukjente så kan [tex]AB[/tex] og [tex]CD[/tex] flyttes rundt til vilkårlige steder på sirkelen. Jeg har laget denne figuren i GeoGebra:
Bilde
Posisjonen til AB og DC kan som sagt flyttes rundt så lenge avstanden er [tex]60^o[/tex] og [tex]40^o[/tex] respektivt. Så vidt jeg vet så har jeg ikke lært noen metode for å regne ut en vinkel til et punkt/trekant som ikke enten er en sentralvinkel eller periferivinkel uten at flere av egenskapene ved trekanten er kjente. Dette punktet [tex]E[/tex] flyttes basert på posisjonen til både [tex]AB[/tex] OG [tex]DC[/tex], som gjør at ingen av egenskapene ved trekant [tex]ABE[/tex] er kjent med unntak av avstanden AB.

Jeg førte så opp linje [tex]AC[/tex] og [tex]BD[/tex] samt skjæringspunkt [tex]E[/tex] mellom disse. Vinkelen [tex]ABE[/tex] står da som [tex]50^o[/tex] uansett hvor jeg flytter punktene. Dette stemmer overens med det fasiten skriver.
Bilde BildeBilde

Mitt spørsmål da er hvordan kommer jeg fram til svaret [tex]50^o[/tex]? Skjønner ikke helt hvordan periferivinkel og sentralvinkel spiller inn her, og 5/6 egenskaper ved trekant [tex]ABE[/tex] er ukjent siden de ikke er konstante. For informasjon, kapittel 7.1-7.4 handler om grunnleggende geometriske steder, tales' setning og grunnleggende om omskrevet og innskrevet sirkel i en trekant.

Svaret er tydeligvis ikke noe med periferivinkelsetningen [tex]Periferivinkel = \frac{1}{2}Sentralvinkel[/tex] som dette kapittelet handler om. Har det noe med at [tex]50^o[/tex] grader rett og slett bare er midt-i-mellom [tex]60^o[/tex] og [tex]40^o[/tex]? Er det evnt. en tilhørende formel eller noe jeg kommer til å lære i R2, eller er det forventet å bruke prøve-og-feile metoden ved å tegne opp figuren flere ganger og direkte lese av med vinkelmåler?

Tusen takk for all som er villige til a gi råd!
Privatisten offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 2
Registrert: 08/05-2019 15:38

Re: Regne ut vinkel i sirkel Periferivinkel/Sentralvinkel

Innlegg Svar » 08/05-2019 18:14

DU må først vise at
1: gradbuen AOD er 120 grader

Nå ser du at

1: vinkel AOC er 160 grader, dermed må vinkel OCA og vinkel OAC være 10 grader FORDI OC og OA er radier
2: Vinkelsummen i en trekant er 180 grader , altså se nå på trekant AOE, 180-120-10 =50
Svar offline

Re: Regne ut vinkel i sirkel Periferivinkel/Sentralvinkel

Innlegg Svar » 08/05-2019 18:40

For å vise at vinkelen AOD er 120 må du bruke det du fikk i oppgave a

[tex]x+y=130[/tex]
[tex]2*(x+y)=2*130[/tex]
[tex]2x+2y=260[/tex]
[tex]2y=260-2x[/tex]

Bruk regelen om supplementvinkler
[tex]260-2x+40=180[/tex]
[tex]2x=120[/tex]

Altså må gradbuen AD være 120
Svar offline

Re: Regne ut vinkel i sirkel Periferivinkel/Sentralvinkel

Innlegg Privatisten » 08/05-2019 20:51

Tusen takk for svar! Du har hjulpet meg å komme fram til riktig svar, og jeg ser da hvilke tre tanker jeg trengte for å løse oppgaven:
*Det er snakk om toppvinkler her; dvs. at vinklene om punkt [tex]E[/tex] parvis vil være like store, og vi vet allerede at [tex]AD[/tex] og [tex]BC[/tex] er til sammen [tex]260^o[/tex].
*Jeg har muligheten til å manipulere figuren til mitt eget ønske siden de vinklene jeg er interessert i er konstante og det ikke er spesifisert hvilke verdier for [tex]XY[/tex] jeg skal bruke annet enn den øvre grensen på [tex]260^o[/tex]. Når jeg da setter vinkel [tex]AOD 120^o[/tex] slik du sier får jeg både enkle tall å regne med samt at [tex]BD \parallel BOED[/tex] siden de linjene blir "inni" hverandre.
*Hvert eneste linjestykke knyttet til [tex]O[/tex] som går til periferien er likebeinte selv om de ikke er del av "samme" trekant.

Tusen takk igjen for hjelp!
Privatisten offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 2
Registrert: 08/05-2019 15:38

Re: Regne ut vinkel i sirkel Periferivinkel/Sentralvinkel

Innlegg jos » 08/05-2019 22:50

Bruk av setningen om periferivinkler gjør beviset enklere. Trekk hjelpelinjen AD i den nest øverste figuren. Da vil <EAD være periferivinkel til <COD, og <BDA være periferivinkel til < AOB. Kall <AED for x. Da har vi: 40/2 + 60/2 +x = <AEB +x, ergo
<AEB = 40/2 + 60/2 = 50.
jos offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 34 gjester