matematikk.net

Oppgave 7.28b i Sigma R1 (1. utgave 2007)
I kapittelet om Periferivinkel & Sentralvinkel er det en oppgave jeg sitter helt fast på. Øver til privatisteksamen så å spørre medelever/lærere er dessverre ikke mulig. Oppgaven lyder som følger:

Punktene [tex]A, B, C, D[/tex] ligger etter hverandre på en sirkel. Buen [tex]AB[/tex] er [tex]60^o[/tex], og buen [tex]CD[/tex] er [tex]40^o[/tex]. Punktet [tex]E[/tex] er skjæringspunktet mellom [tex]AC[/tex] og [tex]BD[/tex]. Sett buen [tex]AD = 2x[/tex] og buen [tex]BC = 2y[/tex]
a) Vis at [tex]x + y = 130^o[/tex]
b) Regn ut vinkel [tex]AEB[/tex]


Mine tanker
Oppgave a) er relativt lett. Har ingen anelse hvordan man kommer fram til riktig svar på oppgave b).

Siden vinkel/bue [tex]BC[/tex] og [tex]AD[/tex] er ukjente så kan [tex]AB[/tex] og [tex]CD[/tex] flyttes rundt til vilkårlige steder på sirkelen. Jeg har laget denne figuren i GeoGebra:

Posisjonen til AB og DC kan som sagt flyttes rundt så lenge avstanden er [tex]60^o[/tex] og [tex]40^o[/tex] respektivt. Så vidt jeg vet så har jeg ikke lært noen metode for å regne ut en vinkel til et punkt/trekant som ikke enten er en sentralvinkel eller periferivinkel uten at flere av egenskapene ved trekanten er kjente. Dette punktet [tex]E[/tex] flyttes basert på posisjonen til både [tex]AB[/tex] OG [tex]DC[/tex], som gjør at ingen av egenskapene ved trekant [tex]ABE[/tex] er kjent med unntak av avstanden AB.

Jeg førte så opp linje [tex]AC[/tex] og [tex]BD[/tex] samt skjæringspunkt [tex]E[/tex] mellom disse. Vinkelen [tex]ABE[/tex] står da som [tex]50^o[/tex] uansett hvor jeg flytter punktene. Dette stemmer overens med det fasiten skriver.


Mitt spørsmål da er hvordan kommer jeg fram til svaret [tex]50^o[/tex]? Skjønner ikke helt hvordan periferivinkel og sentralvinkel spiller inn her, og 5/6 egenskaper ved trekant [tex]ABE[/tex] er ukjent siden de ikke er konstante. For informasjon, kapittel 7.1-7.4 handler om grunnleggende geometriske steder, tales' setning og grunnleggende om omskrevet og innskrevet sirkel i en trekant.

Svaret er tydeligvis ikke noe med periferivinkelsetningen [tex]Periferivinkel = \frac{1}{2}Sentralvinkel[/tex] som dette kapittelet handler om. Har det noe med at [tex]50^o[/tex] grader rett og slett bare er midt-i-mellom [tex]60^o[/tex] og [tex]40^o[/tex]? Er det evnt. en tilhørende formel eller noe jeg kommer til å lære i R2, eller er det forventet å bruke prøve-og-feile metoden ved å tegne opp figuren flere ganger og direkte lese av med vinkelmåler?

Tusen takk for all som er villige til a gi råd!

DU må først vise at
1: gradbuen AOD er 120 grader

Nå ser du at

1: vinkel AOC er 160 grader, dermed må vinkel OCA og vinkel OAC være 10 grader FORDI OC og OA er radier
2: Vinkelsummen i en trekant er 180 grader , altså se nå på trekant AOE, 180-120-10 =50

For å vise at vinkelen AOD er 120 må du bruke det du fikk i oppgave a

[tex]x+y=130[/tex]
[tex]2*(x+y)=2*130[/tex]
[tex]2x+2y=260[/tex]
[tex]2y=260-2x[/tex]

Bruk regelen om supplementvinkler
[tex]260-2x+40=180[/tex]
[tex]2x=120[/tex]

Altså må gradbuen AD være 120

Tusen takk for svar! Du har hjulpet meg å komme fram til riktig svar, og jeg ser da hvilke tre tanker jeg trengte for å løse oppgaven:
*Det er snakk om toppvinkler her; dvs. at vinklene om punkt [tex]E[/tex] parvis vil være like store, og vi vet allerede at [tex]AD[/tex] og [tex]BC[/tex] er til sammen [tex]260^o[/tex].
*Jeg har muligheten til å manipulere figuren til mitt eget ønske siden de vinklene jeg er interessert i er konstante og det ikke er spesifisert hvilke verdier for [tex]XY[/tex] jeg skal bruke annet enn den øvre grensen på [tex]260^o[/tex]. Når jeg da setter vinkel [tex]AOD 120^o[/tex] slik du sier får jeg både enkle tall å regne med samt at [tex]BD \parallel BOED[/tex] siden de linjene blir "inni" hverandre.
*Hvert eneste linjestykke knyttet til [tex]O[/tex] som går til periferien er likebeinte selv om de ikke er del av "samme" trekant.

Tusen takk igjen for hjelp!

Bruk av setningen om periferivinkler gjør beviset enklere. Trekk hjelpelinjen AD i den nest øverste figuren. Da vil <EAD være periferivinkel til <COD, og <BDA være periferivinkel til < AOB. Kall <AED for x. Da har vi: 40/2 + 60/2 +x = <AEB +x, ergo
<AEB = 40/2 + 60/2 = 50.