Første og andrederiverte

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Første og andrederiverte

Innlegg Ostepop » 09/05-2019 09:20

Noen verdier for F(x): F(2)=2800 F(3)=3910 F(4)=5080
Noen verdier for F'(x): F'(2)=1060 F'(3)=1150 F'(4)=1180
Noen verdier for F''(x): F''(2)=120 F''(3)=60 F''(4)=0

Den deriverte av F' er hvor mye noe øker med akkurat på et tidspunkt.
Så F derivert av 2 er hvor mye f.eks bakterier øker med etter akkurat 2 dager.
Går det en dag til øker det med 1060. Hvorfor kan jeg ikke da legge sammen
F derivert av 2 sammen med F(2) og få F(3) ?
Er det fordi den faktiske veksthastigheten forandrer seg underveis ? Slik at den deriverte sier
bare at den vil øke med 1060 vis veksthastigheten er konstant ?
Kan ikke dette da bli ganske unøyaktig og bruke som en beskrivelse for hva som skjer videre?


Det samme kan da sies om den andrederiverte.
Ostepop offline

Re: Første og andrederiverte

Innlegg ErikAndre » 09/05-2019 15:01

Det er helt rett det du selv konkluderer med: Den deriverte i et punkt sier noe om veksten i det punktet, og kun der. Problemet er at mange interessante problemer varierer veldig i hvor stor grad de endrer seg etterhvert som tiden går.

Se litt nærmere på funksjonen du har, som tydeligvis beskriver vekst av bakterier i et lukket miljø. Etter to dager er det relativt få bakterier, i alle fall sett i forhold til hvor mange det er plass til totalt. Med såpass god plass gir det mening at antallet bakterier øker fort, som vi kan se av den deriverte. Om veksten hadde fortsatt akkurat i samme tempo som i det øyeblikket fremover, ville den ha økt med 1060 bakterier om dagen. Det som derimot skjer, er at flere bakterier kommer til og kan bidra til veksten, så etterhvert øker også vekstfarten. Dette kan du se av den andrederiverte, som er positiv: Der den deriverte beskriver hvor fort funksjonen din endrer seg, beskriver den andrederiverte hvor fort den deriverte endrer seg. Dersom denne er 0 endrer den deriverte seg ikke i det hele tatt (i alle fall ikke i det punktet du ser på), og man kan forvente jevn vekst.

En funksjon som tilfredsstiller alle egenskapene du har listet opp er tredjegradspolynomet [tex]f(x) = -10 x^3 + 120 x^2 + 700x + 1000[/tex]. Om du tegner inn dette i GeoGebra eller f.eks. her så kan du se at den beveger seg opp og ned etterhvert som tiden går, og man derfor ikke kan forvente en jevn vekst.
ErikAndre offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 86
Registrert: 15/02-2016 20:21

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google Adsense [Bot] og 117 gjester