Konvergens området

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Konvergens området

Innlegg Banan » 12/05-2019 13:43

Hei

Jeg hadde et spørsmål som jeg ble litt forvirret av.

S(x) = 1 + e^(-x) + e^(-2x) + e^(-3x)

Spørsmålet er å finne konvergensområdet.

Har jeg riktig? Er det riktig å skifte på ulikhettegnet når jeg ganger med -1?

Takk
Vedlegg
WIN_20190512_14_39_16_Pro.jpg
WIN_20190512_14_39_16_Pro.jpg (86.77 KiB) Vist 165 ganger
Banan offline
Cantor
Cantor
Innlegg: 112
Registrert: 28/05-2017 14:25

Re: Konvergens området

Innlegg Markus » 15/05-2019 22:39

$S(x)$ er en geometrisk rekke med $r=e^{-x}$. Vi vet $S(x)$ vil konvergere hvis (og bare hvis) $|r|<1$. Dermed må vi ha $-1<e^{-x}<1$, men siden exp(-x) er positiv overalt holder det at $e^{-x}<1$. Logaritmefunksjonen $\ln(x)$ er voksende på $(0,\inf)$, og den vil derfor «ta vare» på ulikheten, dvs at siden $e^{-x}<1$, vil vi også ha $\ln(e^{-x})=-x<\ln(1)=0$. Om du nå plusser på $x$ på begge sider eller ganger med minus 1 på begge sider spiller ikke så stor rolle. Vi får $x>0$ uansett.

Det stemmer forsåvidt at ulikhetstegnet skifter retning når vi ganger med minus - ser du hvorfor?
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 25 gjester