matematikk.net

Hei

Jeg hadde et spørsmål som jeg ble litt forvirret av.

S(x) = 1 + e^(-x) + e^(-2x) + e^(-3x)

Spørsmålet er å finne konvergensområdet.

Har jeg riktig? Er det riktig å skifte på ulikhettegnet når jeg ganger med -1?

Takk

$S(x)$ er en geometrisk rekke med $r=e^{-x}$. Vi vet $S(x)$ vil konvergere hvis (og bare hvis) $|r|<1$. Dermed må vi ha $-1<e^{-x}<1$, men siden exp(-x) er positiv overalt holder det at $e^{-x}<1$. Logaritmefunksjonen $\ln(x)$ er voksende på $(0,\inf)$, og den vil derfor «ta vare» på ulikheten, dvs at siden $e^{-x}<1$, vil vi også ha $\ln(e^{-x})=-x<\ln(1)=0$. Om du nå plusser på $x$ på begge sider eller ganger med minus 1 på begge sider spiller ikke så stor rolle. Vi får $x>0$ uansett.

Det stemmer forsåvidt at ulikhetstegnet skifter retning når vi ganger med minus - ser du hvorfor?