matematikk.net

Noen som kan forklare meg framgangsmåten til den her oppgaven?

2^x + 6 = 4^x

Svaret skal bli: x=(ln3)/(ln2)

Lacey22 skrev:Noen som kan forklare meg framgangsmåten til den her oppgaven?

2^x + 6 = 4^x

Svaret skal bli: x=(ln3)/(ln2)

Hint: $4^x=2^{2x}$

Tenkte på 2^2x men kommer meg bare så langt:

2^x + 6 = 2^2x

ln2^x + ln6 = ln2^2x

xln2 + ln(3*2) = 2xln2

xln2 + ln3 + ln2 = 2xln2

Lacey22 skrev:

Lacey22 skrev:Tenkte på 2^2x men kommer meg bare så langt:

2^x + 6 = 2^2x

ln2^x + ln6 = ln2^2x

xln2 + ln(3*2) = 2xln2

xln2 + ln3 + ln2 = 2xln2

La [tex]u=2^x[/tex] (og dermed [tex]2^{2x}=u^2[/tex])


Da får du den karakteristiske likningen [tex]u+6=u^2\Leftrightarrow u^2-u-6=0[/tex] Da får du at [tex]u=\frac{1\pm 5}{2}[/tex], siden [tex]a^x>0 \ \forall x\in \mathbb{R}[/tex] er det kun en gyldig løsning, og det må nødvendigvis være [tex]u=\frac{6}{2}=3[/tex]. Substituer inn [tex]2^x[/tex] for [tex]u[/tex], så får du likningen [tex]2^x=3 \Leftrightarrow \ln2^x=\ln3 \Leftrightarrow x\ln2=\ln3 \Leftrightarrow x=\frac{\ln3}{\ln2}[/tex]