Vektor oppgave.
Jeg skal finne likningen for planet gitt punktene A(1,2,2) B(2,1,3) og C(3,1,1)
Noen jeg ikke skjønner er, hvorfor går ikke min utregning? Finner AB vektor som er 1,-1,1. Derretter vet jeg at normal vektoren i planet skal ganget med AB(vektor) bli 0. slik at normal vektor er (1,2,1) Hvorfor går ikke dette?
vektor r2
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Det du gjør galt er at du neglisjerer punkt [tex]C[/tex]. Ved hjelp av tre punkter kan du danne deg to vektorer og en normalvektor til de to vektorene ved hjelp av kryssproduktet.
Vi har [tex]A=(1,2,2)[/tex], [tex]B=(2,1,3)[/tex] og [tex]C=(3,1,1)[/tex]
Da har vi at [tex]\vec{AB}=[1,-1,1][/tex] og [tex]\vec{AC}=[2,-1,-1][/tex]
En normal vektor vil da være [tex]\vec{AB}\times \vec{AC}=\begin{vmatrix} i &j &k \\ 1 &-1 &1 \\ 2 &-1 &-1 \end{vmatrix}=i\begin{vmatrix} -1 &1 \\ -1&-1 \end{vmatrix}-j\begin{vmatrix} 1 &1 \\ 2&-1 \end{vmatrix}+k\begin{vmatrix} 1 &-1 \\ 2 &-1 \end{vmatrix}=2i+3j+k=[2,3,1]=\vec{n}[/tex]
Nå har vi en normalvektor på formen [tex]\vec{n}=[a,b,c]=[2,3,1][/tex] og et punkt [tex]P_0[/tex] lik en av de opprinnelige punktene og samtidig et vilkårlig punkt [tex]P=(x,y,z)[/tex]. Det punktet ligger på planet hvis og bare hvis [tex]\vec{n}\perp \vec{P_0P}[/tex], dvs. [tex]\vec{n}\cdot\vec{P_0P}=0[/tex] og dermed [tex][a,b,c]\cdot[x-x_0,y-y_0,z-z_0]=a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0[/tex]. Tar utgangspunkt i punktet [tex]A=P_0[/tex] og får [tex]2(x-1)+3(y-2)+(z-2)=0[/tex]. Merk at du kan bruke både [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] eller [tex]C[/tex] vilkårlig som [tex]P_0[/tex] da du uansett vil få samme planet som resultat.
Vi har [tex]A=(1,2,2)[/tex], [tex]B=(2,1,3)[/tex] og [tex]C=(3,1,1)[/tex]
Da har vi at [tex]\vec{AB}=[1,-1,1][/tex] og [tex]\vec{AC}=[2,-1,-1][/tex]
En normal vektor vil da være [tex]\vec{AB}\times \vec{AC}=\begin{vmatrix} i &j &k \\ 1 &-1 &1 \\ 2 &-1 &-1 \end{vmatrix}=i\begin{vmatrix} -1 &1 \\ -1&-1 \end{vmatrix}-j\begin{vmatrix} 1 &1 \\ 2&-1 \end{vmatrix}+k\begin{vmatrix} 1 &-1 \\ 2 &-1 \end{vmatrix}=2i+3j+k=[2,3,1]=\vec{n}[/tex]
Nå har vi en normalvektor på formen [tex]\vec{n}=[a,b,c]=[2,3,1][/tex] og et punkt [tex]P_0[/tex] lik en av de opprinnelige punktene og samtidig et vilkårlig punkt [tex]P=(x,y,z)[/tex]. Det punktet ligger på planet hvis og bare hvis [tex]\vec{n}\perp \vec{P_0P}[/tex], dvs. [tex]\vec{n}\cdot\vec{P_0P}=0[/tex] og dermed [tex][a,b,c]\cdot[x-x_0,y-y_0,z-z_0]=a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0[/tex]. Tar utgangspunkt i punktet [tex]A=P_0[/tex] og får [tex]2(x-1)+3(y-2)+(z-2)=0[/tex]. Merk at du kan bruke både [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] eller [tex]C[/tex] vilkårlig som [tex]P_0[/tex] da du uansett vil få samme planet som resultat.