R2 integral

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
tormund32

Driver å holder på med å regne integral forhånd. Er det slik at tredje og fjerdegradslikninger er symetriske, slik jeg jeg ikke trenger å regne arealet som er avgrenset under og over x aksen? At det bare holder å regne ut ett og så gange med 2.

Eller om det er noen andre tips dere har?
jakvah
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 09/11-2017 16:14

For å gi en kort forklaring på spørsmålet ditt:

Når du integrer $x^4$ fra $-a$ til $a$, så kan du integrer fra $0$ til $a$ og multiplisere med 2. Dette er fordi du har et likt areal på begge sidene av y-aksen.

Når du integrerer $x^3$ fra $-a$ til $a$, så blir dette 0. Dette er fordi du har to like areal, men med motsatt fortegn på hver siden av y-aksen.

Det er viktig å påpeke at alle tredjegradsfunksjoner, som f.eks $x^3 -1$, ikke nødvendigvis er slik. Samme gjelder for fjerdegradsfunksjoner.


Her følger en fullstending forklaring på det du spør om, som er knyttet til såkalte odde og jevne funksjoner.

En jevn funksjon er en funksjon som tilfredstiller $f(-x) = f(x)$. Dette betyr at grafen er symmetrisk om y-aksen. Eksempler er $x^2$,$x^4$ og $\cos(x)$. Når du integrerer over et symmetrisk intervall, dvs fra $-a$ til $a$, så integrerer du i praksis over samme området to ganger, og kan derfor skrive $\int_{-a}^{a} f_{jevn}(x) \mathrm{dx} = 2 \int_{0}^{a} f_{jevn}(x) \mathrm{dx}$ (Tegn på et papir så skjønner du hvorfor).

En odd funksjon, er en funksjon som tilfredstiller $f(-x) = -f(x)$. Dette betyr at grafen er såkalt "punkt symmetrisk". Se:https://www.mathsisfun.com/geometry/symmetry-point.html. Eksempler er $x$,$x^3$ og $\sin(x)$. Når du integrer over et symmetirsk invervall, dvs fra$-a$ til $a$, så integrerer du i praksis over to like områder, men som har motsatt fortegn. Du får derfor:
$\int_{-a}^{a} f_{odd}(x) \mathrm{dx} = 0$.

For en artikkel om odde og jevne (even på engelsk) funksjoner, se:https://www.mathsisfun.com/algebra/func ... -even.html
Svar