matematikk.net

Når jeg har en rasjonal funksjon. Hvordan kan jeg vite om det eksisterer en horizontal asymtote eller ikke? jeg vet hvordan jeg regner meg fram til det

Når du regner deg frem til den horisontale asymptoten, vil du se at brøken bare konvergerer hvis polynomet i telleren ikke har en høyere grad enn polynomet i nevneren.

For mer generelt eksistensen av skrå asymptoter, se tidligere innlegg på matematikk.net: https://www.matematikk.net/matteprat/vi ... 3&p=148015

På videregående brukte jeg tre regler for enkelt å finne ut om det var en horisontal asymptote:

1. Dersom telleren er av en MINDRE grad enn nevneren, har funksjonen y=0 som horisontal asymptote.

Eks: [tex]f(x)=\frac{8x+1}{4x^2-3x}[/tex] Her ser du at 8x+1 er en førstegradfunksjon, mens nevneren er en andregradfunksjon.


2. Dersom telleren og nevneren er av SAMME grad, må man sette opp et delestykke mellom koeffisientene foran x-en med høyest grad.

Eks: [tex]f(x)=\frac{4x^2}{5x^2-x}[/tex] Her vil den horisontale asymptoten være y=[tex]\frac{4}{5}[/tex]


3. Dersom telleren er av en HØYERE grad enn nevneren, har man INGEN horisontal asymptote. Man kan derimot få en skrå asymptote.

Eks: [tex]f(x)=\frac{x^2+3x-6}{4x+5}[/tex]

Om dette kan benyttes på enhver rasjonal funksjon, er jeg ikke sikker på, men jeg fikk som oftest riktig når jeg brukte disse reglene.

matteem skrev:På videregående brukte jeg tre regler for enkelt å finne ut om det var en horisontal asymptote:

1. Dersom telleren er av en MINDRE grad enn nevneren, har funksjonen y=0 som horisontal asymptote.

Eks: [tex]f(x)=\frac{8x+1}{4x^2-3x}[/tex] Her ser du at 8x+1 er en førstegradfunksjon, mens nevneren er en andregradfunksjon.


2. Dersom telleren og nevneren er av SAMME grad, må man sette opp et delestykke mellom koeffisientene foran x-en med høyest grad.

Eks: [tex]f(x)=\frac{4x^2}{5x^2-x}[/tex] Her vil den horisontale asymptoten være y=[tex]\frac{4}{5}[/tex]


3. Dersom telleren er av en HØYERE grad enn nevneren, har man INGEN horisontal asymptote. Man kan derimot få en skrå asymptote.

Eks: [tex]f(x)=\frac{x^2+3x-6}{4x+5}[/tex]

Om dette kan benyttes på enhver rasjonal funksjon, er jeg ikke sikker på, men jeg fikk som oftest riktig når jeg brukte disse reglene.

Så om man har en skråasymtote, kan man bare bruke det samme for brøken en står igjen med? altså man ser da på teller vs nevner

Du finner et eksempel og en forklaring på dette ved å følge linken i mitt forrige innlegg.

Ein rasjonal funksjon ( brøkfunksjon ) har ei skrå asymptote dersom


differansen mellom "graden til teljar" og "graden til nemnar" = 1

Eksempel:

f( x ) = [tex]\frac{x^{3} + 1}{x^{2} - 1}[/tex]