Forkorting av rasjonale uttrykk (S2)

[And]

oppgave:
(x^3-2x^2-5x+6)
(x-3)

Min løsning:
p(3)=3^3-2*3^2-5*3+6
=27-18-15+6
=0
(x^3-2x^2-5x+6):(x-3)= x^2+x-2
-(x-3x^2)
x^2-5x
-(x^2-3x)
-2x+6
-(-2x+6)
0
(x^3-2x^2-5x+6=(x-3)(x^2+x-2)

(x^3-2x^2-5x+6)/(x-3)= x^2+x-2

Jeg har løst oppgaven, og svaret stemmer med fasiten, men jeg sliter med å forstå hvorfor det er riktig. Det er spesielt den delen jeg har markert i rødt jeg ikke forstår. Hva er forskjellen mellom å forkorte rasjonale uttrykk og vanlig polynomdivisjon?

[josi]

Det er en svært nær sammenheng. Hvis polynomdivisjonen "går opp", har du vist at divisor, nevneren i brøken, er en faktor i dividenden, telleren. Slik er det jo i ditt uttrykk (x^3-2x^2-5x+6)/(x-3) = x^2 +x+2. ved å gange med (x-3) på begge sider, får vi at telleren, venstresiden i likningen, kan faktoriseres som (x^2 +x +2)(x-3). Altså har den opprinnelige brøken en felles faktor i teller og nevner, (x-3): (x^2 +x +2)(x-3)/(x-3). Ved forkorting kanselleres (x-3) , og vi blir stående igjen med kvotienten x2 +x +2.