matematikk.net

Hvordan beviser man at m^2-4m+6 er positivt uansett hvilket tall m er? er det noe som motbeviser dette? har plugget inn ulike tall og det ser ut til at det stemmer, men hvordan motbeviser jeg dette. (er det mulig)

For å vise at $m^2 -4m + 6$ for alle $m$ er det flere måter vi kan gå frem på.

(Jeg antar du mener for positive, heltallige $m = 1,2,3, \ldots$.)

Det er uansett alltid lurt å teste forskjellige verdier av $m$ for å overbevise seg selv om at påstanden faktisk er sann.

Vi kan f.eks. skrive uttrykket som en andregradsfunksjon: $f(x) = x^2 -4x + 6$.

Så kan vi se om $f(x) = 0$ har noen nullpunkt ved å bruke andregradslikningen.

Men siden $\sqrt{ b^2 - 4ac} = \sqrt{16-4 \cdot 1 \cdot 6} = \sqrt{-8}$, betyr det at $f$ ikke har et nullpunkt (vi kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall). Dvs. uttrykket vårt skjærer aldri x-aksen. Dvs. enten er $f$ alltid positiv, eller så er $f$ alltid negativ.

Da er det nok å sjekke om $f$ er positiv for en tilfeldig verdi av $x$, f.eks. $x = 1$, som gir oss $f(1) = 1^2 - 4\cdot 1 + 6 = 3$, som jo er positiv. Altså er $f$ positiv for alle verdier av $x$. Altså er $m^2 -4m +6$ alltid positiv, for alle verdier av $m$.


Et annet bevis får vi ved å se på: $m^2 + 6 - 4m$. Dersom dette skal være negativt, så må $4m > m^2 + 6$, siden det vi trekker fra må være mer enn det positive tallet vi starter med.

Vi kan jo sjekke om dette stemmer for $m=1,2,3,4$, men da ser vi at $4m$ er mindre enn $m^2 + 6$, altså er $m^2 + 6 - 4m$ større enn $0$ for de fire første verdiene av $m$.

Hva med når $m > 4$? Vel, da har vi at:

$m^2 + 6 = m\cdot m + 6 > 4m + 6 > 4m$, altså vil uttrykket vårt aldri være negativt for $m>4$ heller.

Altså er $m^2 -4m+6$ positiv for alle $m=1,2,3,\ldots$.

Den enkleste metoden er nok å fullføre kvadratet. Ettersom $m^2 - 4m + 6 = (m^2 - 4m + 4) + 2 = (m - 2)^2 + 2,$ ser vi at uttrykket er $\geq 2$ for alle verdier av $m$.

Snedig!

Litt i samme gate, merk at $m^2-4m+6 = -m(4 - m) + 6$. Hvor en kan tenke på $m(4 - m)$ som arealet til ett rektangel med sider $m$ og $4 - m$.
Ett rektangel har størst areal når det er ett kvadrat -- altså når sidene er like lange -- som inntreffer når $m=2$. Altså har vi at

$\hspace{1cm} m^2 - 4m + 6 = -m(4 - m) + 6 \geq -2(4 - 2) + 6 \geq -4 + 2 = 2 > 0$.

Bare så vi er ekstra sikre, så lar jeg denne kjøre evig.

Forøvrig, kan vi få flere moderatorer inn her med en løsning?

Hmmm, hva om en negativ $m$ er en løsning montro Aleks..

Da tester jeg for det etter jeg har gått gjennom alle de positive.