integral vs n rektangler

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

integral vs n rektangler

Innlegg geir722 » 18/09-2019 23:59

Vi har funksjonen f(x):=x^3-6x^2 + 9x x er fra intervallet 0 til 3

1. Bruk sumover på geogebra og regn ut arealet for n=10
2. Derretter bruk integral fra0 til 3 for arealet.
Finn antall rektangler vi må ha dersom forskjellen mellom areal i del 1 og areal i del 2 skal være lik eller mindre enn 2 prosent. Hvordan gjør jeg dette? jeg går utifra jeg ikke har lov til å bruke en glider.
geir722 offline

Re: integral vs n rektangler

Innlegg Gjest » 19/09-2019 06:32

Det her har du vel spurt om før? Hvorfor ikke bruke den tråden til å stille nye spørsmål?

Først vil jeg bare si at jeg ville sagt at glider er innafor. Hvis metoden ikke er oppgitt står du fritt til å velge selv. Hvis du ønsker å løse det mer analytisk så kan jeg prøve å hjelpe deg på vei.

Skal gi en liten forklaring så heng med.
Sumover tegner n rektangler med bredde lik definisjonsområdet delt på antall rektangler. I ditt tilfelle er dette 3/n hvor n er antall rektangler. Rektanglene går så fra y=0 og opp til f(x). Det er arealet av disse rektanglene som er verdien sumover returnerer. Så kan man lure på om man skal tegne fra venstre eller høyre kant og opp til f(x). Sumover sine rektangler skal alltid tegnes slik at arealet blir størst mulig, det vil si for den x-verdien som returnerer høyest y-verdi. Når f(x) stiger vil dette alltid være den største x-verdien og når f(x) synker vil dette være den minste x-verdien. Eksempelvis gir f(0.3) og f(2.7) høyere y-verdi enn f(0) og f(3). For å ta høyde for dette deler vi opp i to summer istedenfor en.

Som du sikkert vet stiger f(x) før toppunktet og synker etter toppunktet. Ved å derivere finner man ut hvor dette er.
$f'(x) = 3x^2-12x+9$
Løser du f'(x) = 0 finner du at x = 1 gir toppunktet. $f(1) = 4$ Dette er da en tredjedel på veien fra 0 til 3, men 1/3 av n rektangler er ikke alltid et heltall så vi ønsker å finne største heltall mindre eller lik 1/3n. Det finnes en matematisk funksjon som heter "floor" som gir dette $\left \lfloor{n/3}\right \rfloor $. Nå har vi alt vi trenger for å sette opp summene. Også må vi huske å ta med rektangelet som inneholder toppunktet også.

$\sum_{x=0}^{\left \lfloor{n/3}\right \rfloor } \frac{3}{n} \cdot f(0.3x) + \sum_{x=\left \lceil{n/3}\right \rceil + 1}^{n} \frac{3}{n} \cdot f(0.3(x-1)) + \frac{3}{n} \cdot f(1)$

Så kan du jo finne ut hva 2% av det faktiske integralet er og løse denne ligningen for n når feilen er mindre enn det.
Gjest offline

Re: integral vs n rektangler

Innlegg Kristian Saug » 19/09-2019 11:07

Siden oppgaven sier at du skal løse oppgaven i CAS med funksjonen "sum over", tenker jeg at vi gjør det. (Den kan også løses i Geogebra med "sum over" der du legger inn funksjonsuttrykket, start= 0, slutt=3, ant rektangler=n. Og lager glider for n med intervall 0-100.)

Du regner fort ut i CAS el Geogebra med integralfunksjonen at det virkelige areal er 6,75. Kall det A ved å legge inn A:= osv

I CAS kan du legge inn "sum over" der du legger inn funksjonsuttrykket, start= 0, slutt=3, ant rektangler=n. Så prøver du deg frem med n=3, n=10, n=50 osv.. Kall dette arealet for B (ved å legge inn B:= osv)

Så legger du inn B/A og dette skal da altså være max 1,02.

Ved prøving og feiling regner jeg med at du kommer under 1,02 ved n=89. Legg inn 4 desimaler under "innstillinger". Jeg har prøvd å løse det ved ligning i CAS, men fikk feilmelding, slik at prøving og feiling med n er det beste tips jeg kan gi. Alternativt glider i Geogebra
Kristian Saug offline

Re: integral vs n rektangler

Innlegg geir722 » 19/09-2019 12:44

Kristian Saug skrev:Siden oppgaven sier at du skal løse oppgaven i CAS med funksjonen "sum over", tenker jeg at vi gjør det. (Den kan også løses i Geogebra med "sum over" der du legger inn funksjonsuttrykket, start= 0, slutt=3, ant rektangler=n. Og lager glider for n med intervall 0-100.)

Du regner fort ut i CAS el Geogebra med integralfunksjonen at det virkelige areal er 6,75. Kall det A ved å legge inn A:= osv

I CAS kan du legge inn "sum over" der du legger inn funksjonsuttrykket, start= 0, slutt=3, ant rektangler=n. Så prøver du deg frem med n=3, n=10, n=50 osv.. Kall dette arealet for B (ved å legge inn B:= osv)

Så legger du inn B/A og dette skal da altså være max 1,02.

Ved prøving og feiling regner jeg med at du kommer under 1,02 ved n=89. Legg inn 4 desimaler under "innstillinger". Jeg har prøvd å løse det ved ligning i CAS, men fikk feilmelding, slik at prøving og feiling med n er det beste tips jeg kan gi. Alternativt glider i Geogebra


Er tillatt med hjelpemidler.
Men det skal vel ikke være 7.75. jeg får lik eller over 7.72?
tar 7.88/100 og så ganger med 98. Da får jeg n=mellom 10 og 11... Tror min tolking av disse 2 prosentene er feil.
geir722 offline

Re: integral vs n rektangler

Innlegg Kristian Saug » 19/09-2019 13:24

Hei igjen!

Eksakt areal er 6,75 og ikke 7,75 som du har brukt!

Prøv på nytt så får du nok et annet antall rektangler (n) som må til! Husk å stille inn antall desimaler på fire!
Kristian Saug offline

Re: integral vs n rektangler

Innlegg Gjest » 19/09-2019 14:05

Kristian Saug skrev:Siden oppgaven sier at du skal løse oppgaven i CAS med funksjonen "sum over"


Den gjør vel ikke det?
Gjest offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 79 gjester