Implisitt derivasjon

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Implisitt derivasjon

Innlegg Oskaroskar » 15/11-2019 16:59

Y er def implisitt som f av x, der g er en gitt deriverbar funksjon av en variabel - finn y'
Kan noen hjelpe meg med siste innspurten. Har svaret nesten rett men jeg skjønner ikke hvorfor man skal mulitpl. g' med x i nevneren og hvor utregningen min evt. Svikter.

(xy + 1)^2 = g(x^2y)

2(xy + 1)(y + xy') = g'(x^(2)y)(2xy + x^(2)y')

2xy^(2) + 2x^(2)yy' + 2y + 2xy' = g'(x^(2)y)(2xy + x^(2)y')

(2xy^(2) + 2y)/(g'(x^(2)y) = 2xy + x^(2)y' - 2x^(2)yy' - 2xy'

(2xy^(2) + 2y - 2xy(g'(x^(2)y))/(g'(x^(2)y) = x^(2)y' - 2x^(2)yy' - 2xy'

2y(xy + 1 - xg'(x^(2)y)/(g'(x^(2)y) = y'x(x - 2xy -2)

2y(xy + 1 - xg'(x^(2)y)/(g'(x^(2)y)(x - 2xy - 2)x= y'

2y(xg'(x^2y) - xy - 1)/ x(2xy + 2 - x)g'(x^2y) = y'

Fasit; 2y(xg'(x^2y) - xy - 1)/ x(2xy + 2 - xg'(x^2y))
Oskaroskar offline
Noether
Noether
Innlegg: 28
Registrert: 24/09-2019 15:03

Re: Implisitt derivasjon

Innlegg Emilga » 15/11-2019 18:07

Jeg får dette.
Vedlegg
A7E7CCAF-7198-4A02-88AF-4DA13511E4E6.jpeg
A7E7CCAF-7198-4A02-88AF-4DA13511E4E6.jpeg (1.07 MiB) Vist 130 ganger
Emilga offline
Poincare
Poincare
Innlegg: 1452
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Re: Implisitt derivasjon

Innlegg Nebuchadnezzar » 15/11-2019 19:16

Dette kan vi vel og finne via formelen. Definer

$ \hspace{1cm}
R(x,y) = (xy + 1)^2 - g(x^2y)
$

Så det du har er altså

$\hspace{1cm}
R(x,y) = 0
$

La oss implisitt derivere denne likningen med hensyn på $x$. Her må vi bruke både kjerne og produktregelen.

$\hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x} + \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0
$

Ved å løse likningen over med hensyn på $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ så er

$\hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}x} \left/ \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}y} \right.
$

Det er denne formelen jeg syntes det er lettere og bruke / utlede når jeg har stygge uttrykk å bruke implisitt derivasjon på. Rett frem får vi nå

$\hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}x}
= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ (xy + 1)^2 - g(x^2y) \right]
= 2 y(xy + 1) - 2xy g'(x^2y)
$

Mens den deriverte med hensyn på $y$ blir

$\hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}y}
= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \left[ (xy + 1)^2 - g(x^2y) \right]
= 2 x (xy + 1) - x^2 g'(x^2y)
$

Slik at

$\hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}
= - \frac{2 y(xy + 1) - 2xy g'(x^2y) }{2 x (xy + 1) - x^2 g'(x^2y)}
= \frac{2y}{x} \cdot \frac{\phantom{2}(xy + 1) - x g'(x^2y) }{2 (xy + 1) - x g'(x^2y)}
$

Og å bekrefte / avkrefte at dette svaret er det samme som det emilga fikk overlater jeg til leser. Min ydmyke mening er hvertfall at dette er en enklere fremgangsmåte dersom man forstår hvorfor formelen fungerer, og hvordan den utledes.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Nebuchadnezzar offline
Fibonacci
Fibonacci
Brukerens avatar
Innlegg: 5540
Registrert: 24/05-2009 13:16
Bosted: NTNU

Re: Implisitt derivasjon

Innlegg josi » 15/11-2019 19:39

Oskaroskar skrev:Y er def implisitt som f av x, der g er en gitt deriverbar funksjon av en variabel - finn y'
Kan noen hjelpe meg med siste innspurten. Har svaret nesten rett men jeg skjønner ikke hvorfor man skal mulitpl. g' med x i nevneren og hvor utregningen min evt. Svikter.

(xy + 1)^2 = g(x^2y)

2(xy + 1)(y + xy') = g'(x^(2)y)(2xy + x^(2)y')

2xy^(2) + 2x^(2)yy' + 2y + 2xy' = g'(x^(2)y)(2xy + x^(2)y')

(2xy^(2) + 2y)/(g'(x^(2)y) = 2xy + x^(2)y' - 2x^(2)yy' - 2xy'

(2xy^(2) + 2y - 2xy(g'(x^(2)y))/(g'(x^(2)y) = x^(2)y' - 2x^(2)yy' - 2xy'

2y(xy + 1 - xg'(x^(2)y)/(g'(x^(2)y) = y'x(x - 2xy -2)

2y(xy + 1 - xg'(x^(2)y)/(g'(x^(2)y)(x - 2xy - 2)x= y'

2y(xg'(x^2y) - xy - 1)/ x(2xy + 2 - x)g'(x^2y) = y'

Fasit; 2y(xg'(x^2y) - xy - 1)/ x(2xy + 2 - xg'(x^2y))


Problemet oppstår i overgangen mellom tredje og fjerde linje. Når du flytter over [tex]2x^2yy´+2xy´[/tex], så glemmer du å dele dette leddet på [tex]g´(x^2y)[/tex].
josi offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google [Bot] og 20 gjester