Bevisføring

[Frævik offline]

Jeg bestemte meg i dag for å bevise at [tex]\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta =1[/tex] for meg selv, altså uten tips e.l.
Jeg tror jeg fikk det til, men lurer på om beviset egentlig holder, eller om det er logiske brister i det. Er nemlig usikker på hva jeg kan anta og ikke.
Beviset er som følger:

Vi arbeider med enhetssirkelen. Dermed er radius [tex]r=1[/tex]. For en hvilken som helst vinkel [tex]\theta[/tex] er [tex]\sin \theta[/tex] lik y-verdien for punktet lengst unna origo, mens [tex]\cos \theta[/tex] er lik x-verdien i det samme punktet.

Ifølge Pytagorassetningen er [tex]r=\sqrt{\sin^2\theta+\cos^2\theta}[/tex]

Kvadreres begge sider får vi [tex]r^2=\sin^2\theta+\cos^2\theta[/tex]

Ettersom [tex]r=1[/tex] har vi altså at [tex]1=\sin^2\theta+\cos^2\theta[/tex]

... og beviset er fullført.

Så mitt spørsmål: Holder dette eller er argumentene for tynne?
Er det forresten nå automatikk i at formelen gjelder for [tex]\theta\in \mathbb{C}[/tex] (noe den gjør). Hvis ikke, hvordan viser jeg dette?

Takk for svar.

[Kristian Saug]

Kan ikke skjønne annet enn at din bevisføring er god nok!

[Frævik offline]

Takk, men kan jeg nå si at den gjelder for komplekse tall også, eller må jeg gjøre mer for det? Jeg har jo benyttet med av kartesiske koordinater i bevisføringen, så dersom vi blander inn det komplekse planet, hvordan blir det?

[Kristian Saug]

Jeg har regnet med komplekse tall men kan ikke begi meg ut på å redegjøre for om denne bevisføringen gjelder for komplekse tall.
Vi har i^2 = -1 og det brukes i mange sammenhenger.

Noen med høyere kompetanse må trå til for å gi deg et godt svar !

[Emilga]

Argumentet ditt er gyldig for $\theta \in \mathbb{R}$.

For å bevise det for komplekse verdier, må vi først ta utgangspunkt i definisjonen for $\sin(z)$ og $\cos(z)$ når argumentet $z$ er komplekst. Da er ikke lenger sin og cos definert ut fra en rettvinklet trekant med et hjørne på enhetssirkelen.

Tips: Sjekk ut Euler's formel.