matematikk.net

Hei!
Har ei eksamensoppgåve der eg skal derivere L (h)

Friksjonsoverflata er minst når lengda L er minst.

d) Bruk den deriverte til å fastsetje djupna h og solebreidda a slik at kanaltverrsnittet blir optimalt.

L (h) = 31,25/( h ) - h · tan 63,5° + 2h/( cos⁡〖63,5°〗 )

Har derivert L (x) og fått følgande, nokon som får det same ?

Lʹ (h) = (0 - 31,25)/( h^2 ) - h · (1 – tan2 63,5°) + tan 63,5° + (2 · cos⁡〖63,5°〗 - 2h · (〖- sin〗⁡〖63,5°)〗 )/( 〖cos〗^2 63,5° )

Kan du gjengi hele oppgaven?

Hei!
Her er heile oppgåva
Med mine utrekningar sålangt til eg står fast?

Oppgåve 1.95
(Eksamen)
Når vatn strøymer i ein kanal, er det ofte viktig at friksjonen er liten. Vi får vite at «eit kanaltverrsnitt er optimalt når friksjonsoverflata er minst mogleg».

Figuren nedanfor viser tversnittet av ein kanal. Tverrsnittet har form som eit trapes. Kanalen skal transportere 25 m3 vatn per sekund, og vatnet renn med farten 0,8 m/s.



a) Vis at arealet F av tverrsnittet må vere

F = 31,25 m2

Volumstraumlikninga: q_V = A·v der A = areal og v = farta

q_V = 25 m^3/s

v = 0,8 m/s

F = (25 m^3/s )/(0,8 m/s) = (25 m^3 )/(0,8 m) = 31,25 m2

b) Vis at solebreidda a kan uttrykkast

F = 31,25 m2 = (a + b_1)/2 · h
b_1 = (2 F)/h - a

tan 63,5° = b/h ⇒ b = h · tan 63,5°
tan 63,5° = c/h ⇒ c = h · tan 63,5°
b_1 = b + a + c ⇒ b_1= a + 2h · tan 63,5°

(2 F)/h - a = a + 2h · tan 63,5°
2a = (2 F)/h - 2h · tan 63,5° │: 2
a = 31,25/( h ) - h · tan 63,5°

der h er djupna i tanken. Sjå figuren.
Vi set lengda L = AB + BC + CD.
Lengda L kan skrivast som ein funksjon av h

c) Vis at

L (h) = 31,25/( h ) - h · tan 63,5° + 2h/( cos⁡〖63,5°〗 )

L (h) = AB + BC + CD
BC = a = 31,25/( h ) - h · tan 63,5°
cos 63,5° = h/AB ⇒ AB = h/(cos 63,5°)
cos 63,5° = h/CD ⇒ CD = h/(cos 63,5°)
AB = CD = h/(cos 63,5°)
AB + CD = 2h/(cos 63,5°)

L (h) = 31,25/( h ) - h · tan 63,5° + 2h/( cos⁡〖63,5°〗 )

Friksjonsoverflata er minst når lengda L er minst.

d) Bruk den deriverte til å fastsetje djupna h og solebreidda a slik at kanaltverrsnittet blir optimalt.

Kvotient: f (x) = (g (x))/( h (x) ) ⇒ f ʹ (x) = (gʹ (x)·h (x) – g (x)·h ʹ (x) )/( (h (x))^2 )
Produkt: f (x) · g(x) = f (x) · g ʹ (x) + f ʹ (x) · g (x)
Tangens: f (x) = tan x ⇒ f ʹ (x) = 1/( 〖cos〗^2 x ) eller f ʹ (x) = 1 – tan2 x
Cosinus: f (x) = cos x ⇒ f ʹ (x) = - sin x

Friksjonsoverflata er minst når lengda L er minst.

d) Bruk den deriverte til å fastsetje djupna h og solebreidda a slik at kanaltverrsnittet blir optimalt.

L (h) = 31,25/( h ) - h · tan 63,5° + 2h/( cos⁡〖63,5°〗 )

Lʹ (h) = (0 - 31,25)/( h^2 ) - h · (1 – tan2 63,5°) + tan 63,5° + (2 · cos⁡〖63,5°〗 - 2h · (〖- sin〗⁡〖63,5°)〗 )/( 〖cos〗^2 63,5° )

Lʹ (h) = 0

Hvorfor deriverer du tangens i $h \cdot \tan 63,5^\circ$? Tangens inneholder jo ikke $h$ og er jo egentlig bare ett tall ($\tan 63.5^\circ \approx 2.00569\ldots$) ser ut som du tenker på å derivere $\tan h$ i stedet. Den deriverte blir jo bare $(h \cdot \tan 63,5^\circ)' = \tan 63,5^\circ$ tilsvarende får du for sisteleddet. Da skal det bli litt enklere å se når uttrykket er null

L (h) = 31,25/( h ) - h · tan(63,5°) + 2h/cos⁡(63,5°)

L'(h) = -31,25 /h^2 - tan(63,5°) + 2cos⁡(63,5°)/(cos⁡(63,5°))^2 = -31,25 /h^2 - tan(63,5°) + 2/cos⁡(63,5°)

husk at tan(63,5°) og cos⁡(63,5°) er konstanter og at den deriverte av en konstant er lik null!
altså:
(cos(x))' = -sin(x)
men
(cos⁡(63,5°))' = 0

vi setter
L'(h) = -31,25 /h^2 - tan(63,5°) + 2/cos⁡(63,5°) = 0
31,25 /h^2 = 2/cos⁡(63,5°) - tan(63,5°)
h^2 = 31,25/(2/cos⁡(63,5°) - tan(63,5°))
h = rot (31,25/(2/cos⁡(63,5°) - tan(63,5°)))
h = 3,55

og
L(3,55) = 31,25/( 3,55 ) - 3,55 · tan(63,5°) + 2*3,55/cos⁡(63,5°)
L(3,55) = 17,59

Se også vedlegg der oppgaven er løst i CAS og Geogebra