matematikk.net

Prøver å få koll på det med homogene likninger. Jeg skjønner det sånn nokenlunde når det gjelder to variabler men problemet mitt kommer når det gjelder flere variabler ift formelen som sier at de partiell deriverte skal være lik k(1-k)f(x).

Av to variabler blir formelen lik 1 i vedlegget men jeg skjønner ikke hvordan formel to skal være tilsvarende for flere variabler? Formel 3 er slik jeg ville tolket det ut ifra formel 1 for å vise litt hvordan jeg tenker feil? om noen kunne forklart meg hvordan formel 2 utlede siden dem i boka sier den utledes på samme måte som formel en noe jeg ikke klarer.

En funksjon $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ kalles homogen av grad $k$ dersom:

$$f(t\vec{x}) = t^k f(\vec{x})$$

for alle $t \in \mathbb{R}$ med $\vec{x} \in \mathbb{R}^n$.

Definer hjelpefunksjonen $g$ slik at:

$$g(t) = f(t\vec{x}) = t^k f(\vec{x})$$.

Vi deriverer denne, først én gang, og så to ganger, på to forskjellige måter. Så evaluerer denne i punktet $t=1$.

Altså, pga. andre likhetstegn i definisjonen av $g$:

$$g^\prime (t) = kt^{k-1}f(\vec{x})$$

Men vi kan også derivere $g$ ved bruk av kjerneregelen, pga. første likhet i definisjonen:

$$g^\prime (t) = \frac{d}{dt} f(t\vec{x}) = \sum_i \frac{\partial f(t\vec{x})}{\partial x_i} \frac{d (tx_i)}{d t} = \sum_i \frac{\partial f(t\vec{x})}{\partial x_i} x_i = \sum_i f_i (t\vec{x}) x_i$$

der vi bruker notasjonen $f_i = \partial f/\partial x_i$.

Setter nå $t=1$, som gir oss:

$g^\prime(1) = k f(\vec{x})$

og

$g^\prime(1) = \sum_i f_i(\vec{x}) x_i$

Altså:

$$\sum_i x_i \frac{\partial f}{\partial x_i} = k f$$

Som gjerne kalles Euler's teorem for homogene funksjoner.


Dersom vi deriverer $g$ to ganger, får vi:

$$g^{\prime \prime}(t) = k(k-1)t^{k-2}f(\vec{x})$$

Men også, ved bruk av kjerneregelen igjen:

$$g^{\prime \prime}(t) = \frac{d}{dt} \sum_i x_i f_i (t\vec{x}) = \sum_i \sum_j x_i \frac{\partial f_i(t\vec{x})}{\partial x_j} \frac{d (tx_j)}{d t} = \sum_i \sum_j x_i x_j f_{ij}(t\vec{x})$$

Altså får vi $g^{\prime \prime}(t=1)$:

$$\sum_i \sum_j x_i x_j f_{ij} = k(k-1)f$$
Der vi summerer over $i = 1, \ldots, n$ og $j = 1, \ldots, n$.

Dersom alle de andre ordens partiellderiverte er kontinuerlige, vil $f_{ij} = f_{ji}$. Vi kan dermed omskrive:

$$\sum_i \sum_j x_i x_j f_{ij} = \sum_i x_i^2 f_{ii} + 2 \sum_{\substack{i,j \\ i < j}} x_i x_j f_{ij}$$