matematikk.net

I oppgåve 2.21 frå Sigma R2 har fått same svar som fasiten på a, b og c. I oppgåve d får eg 30 grader, men fasiten sier 50 grader. Det kan vel ikkje vere riktig. sjå oppgæve nedanfor

Oppgåve 2.21
Eit plan α går gjennom (1, 3, 1) og er parallelt med vektorane u ⃗ = [1, 2, 3] og v ⃗ = [2, 1, 1].
a) set opp likninga for α.

Planet α går gjennom P_0 (x_0, y_0, z_0).

Normal vektoren er n ⃗ = [a, b, c]

(n_α ) ⃗ = u ⃗ x v ⃗

(_2^1) _( 1)^( 2) 〖⤨ 〗_( 1 )^( 3) 〖⤨ 〗_( 2)^( 1) 〖⤨ 〗_( 1)^( 2) 〖 〗_( 1)^( 3)

[(2 · 1 – 1 · 3), (3 · 2 – 1 · 1, 1 · 1 – 2 · 2] = [(2 – 3), (6 - 1), (2 - 4] = [ - 1, 5, - 3]

Planet går gjennom (1, 3, 1). Likningsframstillinga gir no

- 1 (x – 1) + 5 (y – 3) + (- 3) (z - 1 = 0
- x + 1 + 5y – 15 - 3z + 3 = 0
- x + 5y - 3z - 11 = 0 │· ( - 1)
x – 5y + 3z + 11 = 0

b) Linja l: [1 + t., 2 + t, - t] skjer α. Finn skjeringspunktet.

Set inn verdiane for linja l i likninga til α.

x – 5y + 3z + 11 = 0
1(1 + t) – 5(2 + t) + 3(- t) + 11 = 0
1 + t - 10 - 5t - 3t + 11 = 0
t - 5t - 3t + 1 - 10 + 11 = 0
t - 8t + 12 – 10 = 0
- 7t + 2 = 0
7t = 2
t = 2/7

Skjeringspunktet:

(1 + t., 2 + t, - t) = (1 + 2/7.,2 + 2/7,- 2/7) = (7/7 + 2/7,14/7 + 2/7,- 2/7) = (9/7,16/7,- 2/7)
c) Finn vinkelen mellom l og α.

Vektorane til l: (v_l ) ⃗ = [1, 1, - 1]

Vektorane til α: (n_α ) ⃗ = [ -1, 5, - 3]

(v_l ) ⃗ · (n_α ) ⃗ = [1, 1, - 1] · [ - 1, 5, - 3] = (1 ·(-1)+1 ·5+( -1) ·( -3)) = ( - 1 + 5 + 3) = 7

|(v_l ) ⃗ | = √(1^2+ 1^2+〖( - 1)〗^2 ) = √(1+1+1) = √3

|(n_α ) ⃗ | = √(〖(- 1)〗^2+ 5^2+〖( -3)〗^2 ) = √(1+25+9) = √35

cos ∠ ((v_l ) ⃗, (n_α ) ⃗) = ((n_l ) ⃗ · (n_α ) ⃗ )/(|(n_i ) ⃗ | · |(n_α ) ⃗ | ) = 7/(√3 · √35) = 7/(√105 ) ≈ 0,6831
Vi finn cos ∠ ((v_l ) ⃗, (n_α ) ⃗):
cos - 1 (0,6831) ≈ 46,91°
Vi får ∠ (l, α) = 90° - 46,9°

∠ (l, α) = 43,1°

d) Finn vinkelen mellom α og β når β er gitt ved β: x + 3y – z + 4 = 0

(n_β ) ⃗ = [1, 3, - 1]

(n_α ) ⃗ = [ -1, 5, - 3]

(n_β ) ⃗ · (n_α ) ⃗ = [1, 3, - 1] · [ - 1, 5, - 3] = (1 ·(-1)+3·5+( -1)·( -3)) = ( - 1 + 15 + 3) =17

|(n_β ) ⃗ | = √(1^2+ 3^2+〖( - 1)〗^2 ) = √(1+9+1) = √11

|(n_α ) ⃗ | = √(〖(- 1)〗^2+ 5^2+〖( -3)〗^2 ) = √(1+25+9) = √35

cos ∠ ((n_β ) ⃗,(n_α ) ⃗) = ((n_β ) ⃗ · (n_α ) ⃗ )/(|(n_β ) ⃗ | · |(n_α ) ⃗ | ) = 17/(√11 · √35) = 17/(√385 ) ≈ 0,8664
Vi finn cos ∠ ((n_β ) ⃗,(n_α ) ⃗):
cos - 1 (0,8664) ≈ 29,96°

∠ (β, α) = 30°

I oppgåve 2.22 Sigma R2 får eg same svar som fasiten i a og b, men i oppgåve c er eg usikker korleis eg skal løyse.
Korleis skal ein få r ⃗ ∥ α ⃗ ⇔ r ⃗ x α ⃗ = 0 ⃗ i første del og andre del r ⃗ ⊥ (n_α ) ⃗. ⇔ r ⃗ · (n_α ) ⃗. = 0
Kvifor er retningsvektoren r ⃗ lik normalvektoren er ikkje den [1, 2, - 3]
jå oppgåve nedanfor.

Oppgåve 2.22
Planet α er gitt ved likninga

α: x +2y – 3z + 5 = 0

a) Skriv likninga for eit plan β som går gjennom origo og er parallell med α.

Planet β går gjennom P_0 (x_0, y_0, z_0)

Normal vektoren er n ⃗ = [a, b, c]

Ei likningsframstilling for β:
a (x - x_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0
Planet β går gjennom (0, 0, 0)

Normal vektoren er (n_α ) ⃗ = [1, 2, - 3]

Ei likningsframstilling for β:
1(x - 0) + 2(y - 0) - 3(z - 0) = 0
x + 2y – 3z = 0

b) Skriv likninga for eit plan γ som går gjennom (2, 4, 2) og er parallell med α.

Planet γ går gjennom (2, 4, 2)

Normal vektoren er (n_α ) ⃗ = [1, 2, - 3]

Ei likningsframstilling for γ:
1(x - 2) + 2(y - 4) - 3(z - 2) = 0
x - 2 + 2y - 8 - 3z + 6 = 0
x + 2y - 3z - 2 - 8 + 6 = 0
x + 2y - 3z - 4 = 0

c) Forklar at r ⃗ = [1, 1, 1] er parallell med α. Skriv likninga for eit plan som går gjennom
(1, 1, 1) og står vinkelrett på α.

Når r ⃗ = [1, 1, 1] er parallell med α har vi at:

r ⃗ ∥ α ⃗ ⇔ r ⃗ x α ⃗ = 0 ⃗

Når retningsvektoren r ⃗ = [1, 1, 1] står vinkelrett på planet α vil retningsvektoren r ⃗ vere lik normalvektoren (n_α ) ⃗. Vi har då r ⃗ = [1, 1, 1] = (n_α ) ⃗

r ⃗ ⊥ (n_α ) ⃗. ⇔ r ⃗ · (n_α ) ⃗. = 0

r ⃗ · (n_α ) ⃗ = [1, 1, 1] · [1, 2, - 3] = (1 ·1+1·2+1·( -3)) = ( 1 + 2 - 3) = 0

Likninga blir då:

Planet går gjennom (0, 0, 0)

Normal vektoren er n ⃗ = [1, 1, 1]

Ei likningsframstilling for planet:

1(x – 1) + 1(y – 1) + 1(z – 1) = 0
x - 1 + y - 1 + z - 1 = 0
x + y + z - 3 = 0

Under spørsmål c kommer du frem til korrekt likning for planet, men jeg stusser litt på begrunnelsen. Du skriver:


"Når r ⃗ = [1, 1, 1] er parallell med α har vi at:

r ⃗ ∥ α ⃗ ⇔ r ⃗ x α ⃗ = 0 ⃗ "
Her står α for planet α : $ x + 2y - 3z + 5 $, men hva skal α ⃗ bety? Det kan ikke være normalvektoren til planet α, for den kaller du "normalvektoren (n_α ) ⃗". Og planet α er ingen vektor slik at uttrykket r ⃗ x α ⃗ = 0 ⃗ " er vanskelig å tolke men, det som vel er ment er at kryssproduktet mellom to parallelle vektorer er null-vektoren. Men r ⃗ er parallell med planet a og står derfor , som du riktig påpeker nedenfor, normalt på normalvektoren til a.
Det planet oppgaven etterspør, er det som går gjennnom punktet (1,1,1) og som står normalt på a. Siden r ⃗ = [1, 1, 1] er parallell med a må denne vektoren stå normalt på α´s normalvektor og dermed være det etterspurte planets normalvektor. Det gir likningen $[x-1,y-1,z-1]\cdot[1,1,1] = 0$ og dermed $x + y + z -3 = 0$

Hei,

Oppg 2.21
Du har gjort alt rett! d) Vinkelen er 30 grader. Fasit er feil.

Oppg 2.22
Retningsvektoren for det siste planet er ikke lik n[tex]\alpha[/tex]. Den er n[tex]\delta[/tex] = (1, 1, 1) som du da også har brukt.
Siden de to planene skal stå vinkelrett på hverandre, er n[tex]\alpha[/tex] * n[tex]\delta[/tex] = (1, 2, -3) * (1, 1, 1) = 1 + 2 - 3 = 0, hvilket du også har vist.
Du har kommet frem til riktig [tex]\delta[/tex] : x + y + z - 3 = 0
siden planet går gjennom P(1, 1, 1)

Se vedlegg for visualisering