vektorar
Lagt inn: 04/01-2020 10:58
I oppgåve 2.21 frå Sigma R2 har fått same svar som fasiten på a, b og c. I oppgåve d får eg 30 grader, men fasiten sier 50 grader. Det kan vel ikkje vere riktig. sjå oppgæve nedanfor
Oppgåve 2.21
Eit plan α går gjennom (1, 3, 1) og er parallelt med vektorane u ⃗ = [1, 2, 3] og v ⃗ = [2, 1, 1].
a) set opp likninga for α.
Planet α går gjennom P_0 (x_0, y_0, z_0).
Normal vektoren er n ⃗ = [a, b, c]
(n_α ) ⃗ = u ⃗ x v ⃗
(_2^1) _( 1)^( 2) 〖⤨ 〗_( 1 )^( 3) 〖⤨ 〗_( 2)^( 1) 〖⤨ 〗_( 1)^( 2) 〖 〗_( 1)^( 3)
[(2 · 1 – 1 · 3), (3 · 2 – 1 · 1, 1 · 1 – 2 · 2] = [(2 – 3), (6 - 1), (2 - 4] = [ - 1, 5, - 3]
Planet går gjennom (1, 3, 1). Likningsframstillinga gir no
- 1 (x – 1) + 5 (y – 3) + (- 3) (z - 1 = 0
- x + 1 + 5y – 15 - 3z + 3 = 0
- x + 5y - 3z - 11 = 0 │· ( - 1)
x – 5y + 3z + 11 = 0
b) Linja l: [1 + t., 2 + t, - t] skjer α. Finn skjeringspunktet.
Set inn verdiane for linja l i likninga til α.
x – 5y + 3z + 11 = 0
1(1 + t) – 5(2 + t) + 3(- t) + 11 = 0
1 + t - 10 - 5t - 3t + 11 = 0
t - 5t - 3t + 1 - 10 + 11 = 0
t - 8t + 12 – 10 = 0
- 7t + 2 = 0
7t = 2
t = 2/7
Skjeringspunktet:
(1 + t., 2 + t, - t) = (1 + 2/7.,2 + 2/7,- 2/7) = (7/7 + 2/7,14/7 + 2/7,- 2/7) = (9/7,16/7,- 2/7)
c) Finn vinkelen mellom l og α.
Vektorane til l: (v_l ) ⃗ = [1, 1, - 1]
Vektorane til α: (n_α ) ⃗ = [ -1, 5, - 3]
(v_l ) ⃗ · (n_α ) ⃗ = [1, 1, - 1] · [ - 1, 5, - 3] = (1 ·(-1)+1 ·5+( -1) ·( -3)) = ( - 1 + 5 + 3) = 7
|(v_l ) ⃗ | = √(1^2+ 1^2+〖( - 1)〗^2 ) = √(1+1+1) = √3
|(n_α ) ⃗ | = √(〖(- 1)〗^2+ 5^2+〖( -3)〗^2 ) = √(1+25+9) = √35
cos ∠ ((v_l ) ⃗, (n_α ) ⃗) = ((n_l ) ⃗ · (n_α ) ⃗ )/(|(n_i ) ⃗ | · |(n_α ) ⃗ | ) = 7/(√3 · √35) = 7/(√105 ) ≈ 0,6831
Vi finn cos ∠ ((v_l ) ⃗, (n_α ) ⃗):
cos - 1 (0,6831) ≈ 46,91°
Vi får ∠ (l, α) = 90° - 46,9°
∠ (l, α) = 43,1°
d) Finn vinkelen mellom α og β når β er gitt ved β: x + 3y – z + 4 = 0
(n_β ) ⃗ = [1, 3, - 1]
(n_α ) ⃗ = [ -1, 5, - 3]
(n_β ) ⃗ · (n_α ) ⃗ = [1, 3, - 1] · [ - 1, 5, - 3] = (1 ·(-1)+3·5+( -1)·( -3)) = ( - 1 + 15 + 3) =17
|(n_β ) ⃗ | = √(1^2+ 3^2+〖( - 1)〗^2 ) = √(1+9+1) = √11
|(n_α ) ⃗ | = √(〖(- 1)〗^2+ 5^2+〖( -3)〗^2 ) = √(1+25+9) = √35
cos ∠ ((n_β ) ⃗,(n_α ) ⃗) = ((n_β ) ⃗ · (n_α ) ⃗ )/(|(n_β ) ⃗ | · |(n_α ) ⃗ | ) = 17/(√11 · √35) = 17/(√385 ) ≈ 0,8664
Vi finn cos ∠ ((n_β ) ⃗,(n_α ) ⃗):
cos - 1 (0,8664) ≈ 29,96°
∠ (β, α) = 30°
I oppgåve 2.22 Sigma R2 får eg same svar som fasiten i a og b, men i oppgåve c er eg usikker korleis eg skal løyse.
Korleis skal ein få r ⃗ ∥ α ⃗ ⇔ r ⃗ x α ⃗ = 0 ⃗ i første del og andre del r ⃗ ⊥ (n_α ) ⃗. ⇔ r ⃗ · (n_α ) ⃗. = 0
Kvifor er retningsvektoren r ⃗ lik normalvektoren er ikkje den [1, 2, - 3]
jå oppgåve nedanfor.
Oppgåve 2.22
Planet α er gitt ved likninga
α: x +2y – 3z + 5 = 0
a) Skriv likninga for eit plan β som går gjennom origo og er parallell med α.
Planet β går gjennom P_0 (x_0, y_0, z_0)
Normal vektoren er n ⃗ = [a, b, c]
Ei likningsframstilling for β:
a (x - x_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0
Planet β går gjennom (0, 0, 0)
Normal vektoren er (n_α ) ⃗ = [1, 2, - 3]
Ei likningsframstilling for β:
1(x - 0) + 2(y - 0) - 3(z - 0) = 0
x + 2y – 3z = 0
b) Skriv likninga for eit plan γ som går gjennom (2, 4, 2) og er parallell med α.
Planet γ går gjennom (2, 4, 2)
Normal vektoren er (n_α ) ⃗ = [1, 2, - 3]
Ei likningsframstilling for γ:
1(x - 2) + 2(y - 4) - 3(z - 2) = 0
x - 2 + 2y - 8 - 3z + 6 = 0
x + 2y - 3z - 2 - 8 + 6 = 0
x + 2y - 3z - 4 = 0
c) Forklar at r ⃗ = [1, 1, 1] er parallell med α. Skriv likninga for eit plan som går gjennom
(1, 1, 1) og står vinkelrett på α.
Når r ⃗ = [1, 1, 1] er parallell med α har vi at:
r ⃗ ∥ α ⃗ ⇔ r ⃗ x α ⃗ = 0 ⃗
Når retningsvektoren r ⃗ = [1, 1, 1] står vinkelrett på planet α vil retningsvektoren r ⃗ vere lik normalvektoren (n_α ) ⃗. Vi har då r ⃗ = [1, 1, 1] = (n_α ) ⃗
r ⃗ ⊥ (n_α ) ⃗. ⇔ r ⃗ · (n_α ) ⃗. = 0
r ⃗ · (n_α ) ⃗ = [1, 1, 1] · [1, 2, - 3] = (1 ·1+1·2+1·( -3)) = ( 1 + 2 - 3) = 0
Likninga blir då:
Planet går gjennom (0, 0, 0)
Normal vektoren er n ⃗ = [1, 1, 1]
Ei likningsframstilling for planet:
1(x – 1) + 1(y – 1) + 1(z – 1) = 0
x - 1 + y - 1 + z - 1 = 0
x + y + z - 3 = 0
Oppgåve 2.21
Eit plan α går gjennom (1, 3, 1) og er parallelt med vektorane u ⃗ = [1, 2, 3] og v ⃗ = [2, 1, 1].
a) set opp likninga for α.
Planet α går gjennom P_0 (x_0, y_0, z_0).
Normal vektoren er n ⃗ = [a, b, c]
(n_α ) ⃗ = u ⃗ x v ⃗
(_2^1) _( 1)^( 2) 〖⤨ 〗_( 1 )^( 3) 〖⤨ 〗_( 2)^( 1) 〖⤨ 〗_( 1)^( 2) 〖 〗_( 1)^( 3)
[(2 · 1 – 1 · 3), (3 · 2 – 1 · 1, 1 · 1 – 2 · 2] = [(2 – 3), (6 - 1), (2 - 4] = [ - 1, 5, - 3]
Planet går gjennom (1, 3, 1). Likningsframstillinga gir no
- 1 (x – 1) + 5 (y – 3) + (- 3) (z - 1 = 0
- x + 1 + 5y – 15 - 3z + 3 = 0
- x + 5y - 3z - 11 = 0 │· ( - 1)
x – 5y + 3z + 11 = 0
b) Linja l: [1 + t., 2 + t, - t] skjer α. Finn skjeringspunktet.
Set inn verdiane for linja l i likninga til α.
x – 5y + 3z + 11 = 0
1(1 + t) – 5(2 + t) + 3(- t) + 11 = 0
1 + t - 10 - 5t - 3t + 11 = 0
t - 5t - 3t + 1 - 10 + 11 = 0
t - 8t + 12 – 10 = 0
- 7t + 2 = 0
7t = 2
t = 2/7
Skjeringspunktet:
(1 + t., 2 + t, - t) = (1 + 2/7.,2 + 2/7,- 2/7) = (7/7 + 2/7,14/7 + 2/7,- 2/7) = (9/7,16/7,- 2/7)
c) Finn vinkelen mellom l og α.
Vektorane til l: (v_l ) ⃗ = [1, 1, - 1]
Vektorane til α: (n_α ) ⃗ = [ -1, 5, - 3]
(v_l ) ⃗ · (n_α ) ⃗ = [1, 1, - 1] · [ - 1, 5, - 3] = (1 ·(-1)+1 ·5+( -1) ·( -3)) = ( - 1 + 5 + 3) = 7
|(v_l ) ⃗ | = √(1^2+ 1^2+〖( - 1)〗^2 ) = √(1+1+1) = √3
|(n_α ) ⃗ | = √(〖(- 1)〗^2+ 5^2+〖( -3)〗^2 ) = √(1+25+9) = √35
cos ∠ ((v_l ) ⃗, (n_α ) ⃗) = ((n_l ) ⃗ · (n_α ) ⃗ )/(|(n_i ) ⃗ | · |(n_α ) ⃗ | ) = 7/(√3 · √35) = 7/(√105 ) ≈ 0,6831
Vi finn cos ∠ ((v_l ) ⃗, (n_α ) ⃗):
cos - 1 (0,6831) ≈ 46,91°
Vi får ∠ (l, α) = 90° - 46,9°
∠ (l, α) = 43,1°
d) Finn vinkelen mellom α og β når β er gitt ved β: x + 3y – z + 4 = 0
(n_β ) ⃗ = [1, 3, - 1]
(n_α ) ⃗ = [ -1, 5, - 3]
(n_β ) ⃗ · (n_α ) ⃗ = [1, 3, - 1] · [ - 1, 5, - 3] = (1 ·(-1)+3·5+( -1)·( -3)) = ( - 1 + 15 + 3) =17
|(n_β ) ⃗ | = √(1^2+ 3^2+〖( - 1)〗^2 ) = √(1+9+1) = √11
|(n_α ) ⃗ | = √(〖(- 1)〗^2+ 5^2+〖( -3)〗^2 ) = √(1+25+9) = √35
cos ∠ ((n_β ) ⃗,(n_α ) ⃗) = ((n_β ) ⃗ · (n_α ) ⃗ )/(|(n_β ) ⃗ | · |(n_α ) ⃗ | ) = 17/(√11 · √35) = 17/(√385 ) ≈ 0,8664
Vi finn cos ∠ ((n_β ) ⃗,(n_α ) ⃗):
cos - 1 (0,8664) ≈ 29,96°
∠ (β, α) = 30°
I oppgåve 2.22 Sigma R2 får eg same svar som fasiten i a og b, men i oppgåve c er eg usikker korleis eg skal løyse.
Korleis skal ein få r ⃗ ∥ α ⃗ ⇔ r ⃗ x α ⃗ = 0 ⃗ i første del og andre del r ⃗ ⊥ (n_α ) ⃗. ⇔ r ⃗ · (n_α ) ⃗. = 0
Kvifor er retningsvektoren r ⃗ lik normalvektoren er ikkje den [1, 2, - 3]
jå oppgåve nedanfor.
Oppgåve 2.22
Planet α er gitt ved likninga
α: x +2y – 3z + 5 = 0
a) Skriv likninga for eit plan β som går gjennom origo og er parallell med α.
Planet β går gjennom P_0 (x_0, y_0, z_0)
Normal vektoren er n ⃗ = [a, b, c]
Ei likningsframstilling for β:
a (x - x_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0
Planet β går gjennom (0, 0, 0)
Normal vektoren er (n_α ) ⃗ = [1, 2, - 3]
Ei likningsframstilling for β:
1(x - 0) + 2(y - 0) - 3(z - 0) = 0
x + 2y – 3z = 0
b) Skriv likninga for eit plan γ som går gjennom (2, 4, 2) og er parallell med α.
Planet γ går gjennom (2, 4, 2)
Normal vektoren er (n_α ) ⃗ = [1, 2, - 3]
Ei likningsframstilling for γ:
1(x - 2) + 2(y - 4) - 3(z - 2) = 0
x - 2 + 2y - 8 - 3z + 6 = 0
x + 2y - 3z - 2 - 8 + 6 = 0
x + 2y - 3z - 4 = 0
c) Forklar at r ⃗ = [1, 1, 1] er parallell med α. Skriv likninga for eit plan som går gjennom
(1, 1, 1) og står vinkelrett på α.
Når r ⃗ = [1, 1, 1] er parallell med α har vi at:
r ⃗ ∥ α ⃗ ⇔ r ⃗ x α ⃗ = 0 ⃗
Når retningsvektoren r ⃗ = [1, 1, 1] står vinkelrett på planet α vil retningsvektoren r ⃗ vere lik normalvektoren (n_α ) ⃗. Vi har då r ⃗ = [1, 1, 1] = (n_α ) ⃗
r ⃗ ⊥ (n_α ) ⃗. ⇔ r ⃗ · (n_α ) ⃗. = 0
r ⃗ · (n_α ) ⃗ = [1, 1, 1] · [1, 2, - 3] = (1 ·1+1·2+1·( -3)) = ( 1 + 2 - 3) = 0
Likninga blir då:
Planet går gjennom (0, 0, 0)
Normal vektoren er n ⃗ = [1, 1, 1]
Ei likningsframstilling for planet:
1(x – 1) + 1(y – 1) + 1(z – 1) = 0
x - 1 + y - 1 + z - 1 = 0
x + y + z - 3 = 0