vektorar

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

vektorar

Innlegg geil » 08/01-2020 15:00

Har løyst ei oppgåve i Sigma R2
Er usikker på kva dei meiner i a) med FORKLAR. Har eg løyst oppgåva riktig
og er kommentane eg har skrevet til del løysinga korrekte.
Oppgåva spør om skjeringspunkt, men fasiten gir svaret
a) l er parallell α med avstanden i ( √6)/( 3 ) ≈ 0,82
b) m ligg i α.




Oppgåve 2.27
Eit plan α er gitt ved α: 2x - y - z = 0. To rette linjer er gitt ved


l: {█(x=1+ t @y=2+t @ z=2+ t )┤

m: {█(x=3+ t @y=3+t @ z=3+ t )┤

a) Finn skjeringspunkta mellom l og α. Forklar.

Likninga for eit plan er

ax + by + cz + d = 0

Der a, b og c er koordinatane til planets normalvektor, og x_0, y_0, z_0 er eit punkt i planet.
I planet α er d = 0, og planet skjerer i origo. Når linja og planet skjerer kvarandre vil koordinatane vere dei same. Dei finn vi ved å sette utrykket for linja inn i likninga for planet og finn verdien til t.

2x - y - z = 0
2 · (1 + t) - 1 · (2 + t) - 1 · (2 + t) = 0
2 + 2t - 2 - t - 2 - t = 0
2t - t - t + 2 - 2 - 2 = 0
0t - 2 = 0
0t = 2
t = 0

Setter verdien for t inn parameterframstillinga for linja l.

x = 1
y = 2
z = 2

Koordinatane til punktet er då (1, 2, 2).

Setter koordinatane til punktet inn i likninga til planet α og sjekkar om punktet skjerer planet:
2x - y - z = 0
2 · 1- 1 · 2 - 1 · 2 = 0
2 – 2 – 2 = 0
- 2 ≠ 0

Linja l skjerer ikkje planet α.

Vi finn avstanden mellom linja l og planet α

|2 · 1 - 1 · 2 - 1 · 2 |/(√(2^2 + 〖(-1)〗^2 + 〖(-1)〗^2 ) ) = (2 -2 - 2 )/√(4 + 1 + 1 ) = (|- 2| · √6)/(√6 · √6) = (2 √6)/( 6 ) = ( √6)/( 3 ) ≈ 0,82

Linja l er parallell med planet α.

b) Finn skjeringspunkta mellom m og α.

2x - y - z = 0
2 · (3 + t) - 1 · (3 + t) - 1 · (3 + t) = 0
6 + 2t - 3 - t - 3 - t = 0
2t - t - t + 6 - 3 - 3 = 0
0t = 0
t = 0

Setter verdien for t inn parameterframstillinga for linja m.

x = 3
y = 3
z = 3

Koordinatane til punktet er då (3, 3, 3).

Setter koordinatane til punktet inn i likninga til planet α og sjekkar om punktet skjerer planet:
2x - y - z = 0
2 · 3- 1 · 3 - 1 · 3 = 0
6 – 3 – 3 = 0
0 = 0

Linja m skjerer planet α.

Vi finn avstanden mellom linja m og planet α

|2 · 3 - 1 · 3 - 1 · 3 |/(√(2^2 + 〖(-1)〗^2 + 〖(-1)〗^2 ) ) = (6 -3 - 3 )/√(4 + 1 + 1 ) = 0/(√6 ) = 0

Linja m ligg på planet α.
geil offline

Re: vektorar

Innlegg josi » 08/01-2020 17:21

Under a) får du ikke at t = 0, men at 0 = 2. Det siste er en selvmotsigelse som viser at likningen ikke har noen løsning. Det skyldes at linjen l er parallell med det gitte planet. Sjekk retningsvektoren for l og normalvektoren for planet så ser du at skalarproduktet mellom dem = 0.
josi offline

Re: vektorar

Innlegg Kristian Saug » 08/01-2020 17:59

Hei,

Retningsvektor for linja l, rl = (1, 1, 1)
Normalvektor for planet [tex]\alpha[/tex], n[tex]\alpha[/tex] = (2, -1, -1)
rl * n[tex]\alpha[/tex] = 2 - 1 - 1 = 0
Dermed ligger l og [tex]\alpha[/tex] parallelt og krysser ikke hverandre.
Avstanden mellom dem har du regnet ut korrekt.

Linja m ligger også parallelt med planet [tex]\alpha[/tex], siden retningsvektor for m, rm = (1, 1, 1).
Som du har vist, ligger faktisk m i [tex]\alpha[/tex].

Se vedlegg for visualisering
Vedlegg
Plan og to linjer.odt
(77.61 KiB) 46 ganger
Kristian Saug offline
Abel
Abel
Innlegg: 600
Registrert: 11/11-2019 18:23

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 73 gjester