Kjerneregelen ved Integrasjon

[yoghurtoth]

Hei,

Jeg tar R2 som privatist, og blir ikke helt klok på hvordan man integrerer sammensatte funksjoner. Kan ikke se at det står noe eksplisitt om dette i læreboka (Sinus R2), selv om man må kunne det for å løse enkelte av oppgavene i boka.

Har prøvd å finne mer informasjon andre steder på nettet, men alle sidene jeg har sett på bruker Leibniz-notasjon, og det er jeg ikke fortrolig med. Kan noen her gi en forklaring på hva man egentlig gjør?

[Aleks855]

Har du et eksempel du sitter fast på? Det kan være greit å jobbe gjennom fremgangsmåten sammen med et konkret eksempel.

Det finnes ikke en like hendig regel som kjerneregelen for derivasjon, for integrasjon. Det vi har er en metode vi gjerne kaller "variabelskifte" eller "substitusjon" som tar utgangspunkt i kjerneregelen for derivasjon.

Jeg har imidlertid noen videoer om integrasjonsmetoder du kan se. Start gjerne med denne: https://udl.no/v/r2-matematikk/kapittel ... bevis-1103 og gå videre derfra. Det er totalt fire videoer om dette. Her starter vi med kjerneregelen for derivasjon, og utleder en formel for integrasjon som benytter seg av denne. I de påløpende videoene går jeg gjennom noen eksempler, samt noen tips til regneteknikk.

Mer videoer om integrasjon på R2-nivå: https://udl.no/p/r2-matematikk/kapittel ... onsmetoder

Mer om integrasjon generelt: https://udl.no/p/matematikk-blandet/integrasjon

[SveinR]

Hva mener du med "sammensatte funksjoner"? Jeg antar at du mener noe slikt som f.eks.

[tex]\int 2x\, e^{x^2}\, \mathrm{d}x[/tex] eller [tex]\int x \sin{x}\, \mathrm{d}x[/tex]

Her er det typisk to standardteknikker som benyttes: Substitusjon eller delvis integrasjon (evt. delbrøksoppspalting i noen tilfeller). Læreboken din i R2 forklarer garantert disse metodene. Hvilken metode som fungerer kommer an på oppgaven.

Men det er kanskje noe annet du tenker på?

[Mattebruker]

Integrasjon ved bruk av kjerneregelen baklengs:

[tex]\int 2xe^{x^{2}}dx[/tex] = [tex]\int[/tex](x[tex]^{2}[/tex])' e[tex]^{x^{2}}[/tex]dx ( kjerneregelen baklengs ) = e[tex]^{x^{2}}[/tex] + C

[Kristian Saug]

For en R2-elev er det mer aktuelt å gå frem slik (selv om det i prinsippet er det samme som Mattegjest har vist):

[tex]\int 2xe^{x^{2}}dx[/tex]

Substitusjon/variabelskifte:

setter
[tex]u=x^{2}[/tex]
[tex]\frac{du}{dx}=2x[/tex]
[tex]dx=\frac{du}{2x}[/tex]

får

[tex]\int 2xe^{u}\frac{du}{2x}=\int e^{u}du=e^{u}+C = e^{x^{2}}+C[/tex]

[yoghurtoth]

Takk for konstruktive svar! Ser nå at dette dekkes av læreboka i kapittel 6, så da ser jeg litt mer på det på egenhånd før jeg eventuelt stiller flere spørsmål.