vektorar

[geil]

Hei!
Her er ei oppgåve frå R2 Sigma 2015.
Har prøvd å løyse denne på følgande måte, sjå nedanfor.
Har eg gjort det riktig, føler spesielt at svaret på a) er eg på tynn is.
Kva med b) Forstår at vinkelen må vere 90 grader, men kan det utreknast slik eg har gjort.
Kan ein forklare det utifrå stigningstalet til dei to linjene som står dermed vinkelrett på kvarandre.
Hadde vore fint om nokon kunne gi meg ei tilbakemelding på dette.

Oppgåve 2.35
a) Forklar at likninga y = x kan tolkast både som eit plan og som ei linje.

Planet har likninga x – y = 0. Vi ser at z-leddet manglar. Det vil seie at for kvart talpar
(x, y) som høver i likninga, kan z ver kva som helst. Planet er då parallelt med z-aksen og står
vinkelrett på xy-planet. I xy-planet skjer planet vårt langs linja x – y = 0, det vil seie at y = x.

Likninga for eit plan er

ax + by + cz + d = 0

Der a, b og c er koordinatane til planets normalvektor, og x_0, y_0, z_0 er eit punkt i planet.
I planet er d = 0, og planet skjerer i origo. Når linja og planet skjerer kvarandre vil koordinatane vere dei same.

b) Finn vinkelen mellom plana y = x og y + x = 0.

Ein normalvektor for α blir (n_α ) ⃗ = [1, - 1, 0]
Ein normalvektor for β blir (n_β ) ⃗ = [1, 1, 0]

cos ∠ ((n_α ) ⃗,(n_β ) ⃗ ) = ((n_α ) ⃗ · (e_x ) ⃗)/(|(n_α ) ⃗ | · |(e_x ) ⃗ | )
= ([1,-1 ,0] · [1,1,0])/(|[1,-1,0]| · |[1,1,0]| ) = ((1 · 1 + ((-1) · 1) + 0 · 0))/(√(1^2+ 〖(-1)〗^2+ 0^2 ) · √(1^2+ 1^2+ 0^2 )) = (1 - 1 + 0)/(√(1 + 1 + 0) · √(1 + 1 + 0))
= 0/(√2 · √2) = 0/(√4 ) = 0/2 = 0
cos^( - 1) (0 ) = 90°

Altså er vinkelen ∠ ((n_α ) ⃗,(n_β ) ⃗ ) = 90°.

Vi finn u = ∠ ((n_α ) ⃗, (n_β ) ⃗ ).
Når u ∈ [0°, ├ 90°⟩, er ∠ (α, β) = u

Då er vinkelen mellom planet og x-aksen lik

∠ (α, β) = 90°

Vi kan også sjå på stigningstalet til dei to linjene:

l: y = x stigningstalet a = 1 og b = 0

m: y = - x stigningstalet a = -1 og b = 0

Vi ser då at vinkelen mellom dei to linjene er 90°

[Kristian Saug]

Hei,

Forklaringen på linje og plan har du gjort greit.

Skalarproduktet

[tex]\vec{n_{\alpha }}* \vec{n_{\beta }}=\begin{bmatrix} 1,-1,0 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 1,1,0 \end{bmatrix}=1-1+0=0[/tex]

Dermed står planene vinkelrett på hverandre.