vektorar

[geil]

Hei!
Har to oppgåver frå Sigma R2 2015.

Fasit svar i oppgåve 2.43 er
a)4/3ItI
b) t = 0
c)+- 3/4

Fasit svar 2.44
V = 240

Sjå løysingane mine nedanfor.
Trur eg har løyst oppgåvene riktig, men er usikker på
om det går å løyse dei slik eg har gjort og har gjort feil
når eg ikkje får fasit svar i oppgåve 2.43.

Oppgåve 2.43
I pyramiden ABCP er A (2, 0, 0), B (0, 2, 0) og C (0, 0, 4). Toppunktet P ligg på linja
r ⃗(t) = [t, t, 2t] gir eit parallellepiped.

a) Finn volumet V(t).

(AB) ⃗ = [0 - 2, 2 - 0, 0 - 0] = [- 2, 2, 0]
(AC) ⃗ = [0 - 2, 0 - 0, 4 - 0] = [- 2, 0, 4]

Vi finn vektorproduktet (AB) ⃗ x (AC) ⃗ = [- 2, 2, 0] x [- 2, 0, 4]

(_- 2^(- 2)) _( 0)^( 2) 〖⤨ 〗_( 4 )^( 0) 〖⤨ 〗_( - 2)^( - 2) 〖⤨ 〗_( 0)^( 2) 〖 〗_( 4)^( 0)

[((2) · (4)) – ((0) · (0)), ((0) · (- 2)) – ((4) · (- 2)), ((- 2) · (0)) – ((- 2) · (2))]
= [(8 - 0), (0 + 8),(0 + 4)] = [8, 8, 4].

Volumformelen for ein trekanta pyramide gir så

V_P = 1/6 |((AB) ⃗ x (AC) ⃗ ) · r ⃗(t) | = 1/6 |[8,8,4] · [t,t,2t]|
= 1/6 · | (8·(t)+8·t+4·2t) |= 1/6 |(8t+8t+8t)| = 1/6 · |24t| = 24/6 · |t| = 4|t|

b) Kva er t når volumet er lik null?

1/6 · |24t| = 0
4t = ± 0
t = 0

c) Løys likninga V(t) = 16.

1/6 · |24t| = 16 │· 6
|24t| = 96
t = ± 96/24
t = ± 4


Utfordring 2.44
Eit parallellepiped er forma av vektorane p ⃗, q ⃗ og r ⃗ med lengdene 10, 6 og 8. Grunnflata er eit rektangel. Vinkelen mellom vektoren r ⃗ og normalen på grunnflata er 60°. Finn volumet av parallellepipedet.

V = 10 · 6 · (8 · cos 60°) = 60 · (8 · 1/2) = 60 · 4 = 240

[josi]

Er du sikker på at du har skrevet av oppgaven korrekt? Det er litt merkelig at du får fasitvaret, når du anvender feil formel for volumet. Vektorproduktet skal ikke skalarproduseres med $\vec{r(t)}$, men med $\vec {AT}$.

[geil]

Hei!
Det er skrevet riktig i oppgåve teksta i begge oppgåvene:
NB! Eg fikk ikkje rett svar i oppgåve 2.43
Fikk rett svar i 2.44

[geil]

Beklager det skal berre stå følgane 2.43

I pyramiden ABCP er A (2, 0, 0), B (0, 2, 0) og C (0, 0, 4). Toppunktet P ligg på linja
r ⃗(t) = [t, t, 2t].

NB! Det skal ikkje stå: gir eit parallellepiped etter r ⃗(t) = [t, t, 2t].

[Kristian Saug]

Hei,

Se melding fra josi. Det er [tex]\vec{AP}[/tex] som skal brukes i volumformelen.

Ut fra dine opplysninger:

A(2,0,0)
B(0,2,0)
C(0,0,4)
P(t,t,2t)

[tex]\vec{AB}=(-2,2,0)[/tex]
[tex]\vec{AC}=(-2,0,4)[/tex]
[tex]\vec{AP}=(t-2,t,2t)[/tex]

[tex]V(t)=\frac{1}{6}\begin{vmatrix} (\vec{AB}\bigotimes \vec{AC})\vec{AP} \end{vmatrix}[/tex]

Da får du til resten selv!

[geil]

Takk for hjelp

Løysinga vart då slik:

a) Finn volumet V(t).

(AB) ⃗ = [0 - 2, 2 - 0, 0 - 0] = [- 2, 2, 0]
(AC) ⃗ = [0 - 2, 0 - 0, 4 - 0] = [- 2, 0, 4]

Vi finn vektorproduktet (AB) ⃗ x (AC) ⃗ = [- 2, 2, 0] x [- 2, 0, 4]

(_- 2^(- 2)) _( 0)^( 2) 〖⤨ 〗_( 4 )^( 0) 〖⤨ 〗_( - 2)^( - 2) 〖⤨ 〗_( 0)^( 2) 〖 〗_( 4)^( 0)

[((2) · (4)) – ((0) · (0)), ((0) · (- 2)) – ((4) · (- 2)), ((- 2) · (0)) – ((- 2) · (2))]
= [(8 - 0), (0 + 8),(0 + 4)] = [8, 8, 4].

Punktet P ligg på linja

(AP) ⃗ = [t - 2, t - 0, 2t - 0] = [t - 2, t, 2t]

Volumformelen for ein trekanta pyramide gir så

V_P = 1/6 |((AB) ⃗ x (AC) ⃗ ) · r ⃗(t) | = 1/6 |[8,8,4] · [t-2,t,2t]|
= 1/6 · | (8·(t-2)+8·t+4·2t) |= 1/3 |(8t-16+8t+8t)|
= 1/6 · |24t-16| = 1/6 · 8 |3t-2| = 8/6 |3t-2| = 8/6 |3t-2| = 4/3 |3t-2|

b) Kva er t når volumet er lik null?

4/3 |3t-2| = 0 ⇒ |3t| – 2 = 0 ⇒ |3t| = 2 ⇒ t = 2/3

r ⃗(t) = [t, t, 2t]

Koordinatane r ⃗ ( 2/3)

r ⃗ ( 2/3) = [2/3,2/3,2 · 2/3] = [2/3,2/3,4/3]

(n_α ) ⃗ = [8, 8, 4] : 4 ⇒ (n_α ) ⃗ = [2, 2, 1]

V (2/3) = 0

2(2/3 -2) + 2(2/3) + 1(4/3) = 4/3 -12/3 + 4/3 + 4/3 = 12/3-12/3 = 0

Når t = 2/3 blir V (2/3) = 0 og punktet (2/3,2/3,4/3) ligg då i planet α

c) Løys likninga V(t) = 16.

4/3 |3t-2| = 16 │· 3
4|3t-2| = 48
|12t| - 12 = 48 : 12
|t| = 4 + 1
t = ±5

[Kristian Saug]

Hei,

På a) regnes det slik:

[tex]\begin{vmatrix} 3t-2 \end{vmatrix}=0[/tex]
[tex]\begin{matrix} 3t-2=0\\t=\frac{2}{3} \end{matrix}[/tex]

Og på b):

[tex]\frac{1}{6}\begin{vmatrix}24t-16 \end{vmatrix}=16[/tex]
[tex]\begin{vmatrix} 24t-16 \end{vmatrix}=96[/tex]

[tex]\begin{matrix} 24t-16=96\\24t=112 \\t= \frac{14}{3} \end{matrix}[/tex]
[tex]\begin{matrix} \vee \\24t-16=-96 \\24t=-80 \\t= \frac{-10}{3} \end{matrix}[/tex]

[geil]

Det å kunne bruke dette forumet når ein treng hjelp
er heilt avgjerande for å kunne drive med sjølv studium.

Tusen Takk for god hjelp

[Kristian Saug]

Det å kunne bruke dette forumet når ein treng hjelp
er heilt avgjerande for å kunne drive med sjølv studium.

Tusen Takk for god hjelp

Bare hyggelig å kunne hjelpe.
Du gjør jo iherdige forsøk selv også, før du ber om hjelp. Bra!