vektorar

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

vektorar

Innlegg geil » 10/02-2020 13:06

Hei!
Har eit problem får ikkje same volumet når eg løyser denne oppgåven.
Når eg løyser med V_P = 1/6 · |(AB) ⃗ x (AC) ⃗ · r ⃗ | får eg sjå løysing nedanfor.

Når eg finn G og h og brukar formelen V = 1/3 · G · h får eg sjå løysing nedanfor.

NB! Kan r ⃗ = [ - 2 + 2t, t, - 2t] vere feil. Skal det kanskje stå [- 7 + 2t, t, - 2t) då vil ein få likt areal
med begge metodane?

Kan nokon hjelpe meg her




Oppgåve 2.55
I pyramiden ABCT er A (5, 0, 0), B (0, 5, 0) og C (0, 0, 5). Toppunktet T ligg på den rette linja r ⃗ = [ - 2 + 2t, t, - 2t].

d) Finn volumet av pyramiden.

(n_α ) ⃗ = (AB) ⃗ x (AC) ⃗ = [25, 25, 25].
(v_l ) ⃗ ⃗ = [-2 + 2t, t, - 2t].

V_P = 1/6 · |(AB) ⃗ x (AC) ⃗ · r ⃗ | = 1/6 · |[25,25,25] · [ -2+2t,t,- 2t]|
= 1/6 · (25 ·(-2+2t)+25 ·t+25 ·(-2t)
= 1/6 · (- 50+50t+25t-50t) = 1/6 · (25t-50)
= 25/6 · (t-2)

Arealet av trekanten G = 1/2 · |(AB) ⃗ x (AC) ⃗ |

G = 1/2 · |[25,25,25]| = 1/2 · √(25^2+25^2+ 25^2 ) = 1/2 · √(625+625+ 625)
= 1/2 · √1875 = 1/2 · √3 · √625 = 1/2 · 25 · √3 = 25/2 · √3

Avstanden h (t) frå T til planet α. Punktet T har koordinatane til linja l
T ( - 2 + 2t, t, - 2t)

Avstanden frå T til α er:
α: x + y + z – 5 = 0
α: ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 0
q = |ax_1 + ay_1 + az_1 + d |/(√(a^2 + b^2 + c^2 ) )
(n_α ) ⃗ = [a, b, c] = [1, 1, 1]
T (x_t, y_t, z_t) = [(- 2 + 2t, t , – 2t]

Avstandsformelen gir

h = q = |1 · (-2 + 2t)+ 1 · (t)+ 1 · (-2t)- 5|/(√(〖(1)〗^2 + 〖(1)〗^2 + 〖(1)〗^2 ) ) = (|- 2 + 2t + t -2t - 5| )/√(1 + 1 + 1 )
= |2t + t-2t -2 -5|/√3 = (|t – 7| )/√3 = (|t – 7| · √3 )/(√3 · √3 ) = (|t – 7| )/3 √3
Volumet V (t) av pyramiden ABCT

For ei pyramide har vi V = 1/3 · G · h. Vi set inn og får

V = 1/3 · G · h = 1/3 · 25/2 · √3 · (|t – 7| )/3 √3 = 1/3 · 25/2 · √3 · √3 · (|t – 7| )/3
= 1/3 · 25/2 · 3 · (|t – 7| )/3 = 25/6 · |t – 7|
geil offline

Re: vektorar

Innlegg Kristian Saug » 10/02-2020 13:57

Hei,

Ja, det skal stå [tex](-7+2t, t, -2t)[/tex], fordi dette er [tex]\overrightarrow{AT}[/tex]

[tex]V(t)=\frac{1}{6}\begin{vmatrix} (\overrightarrow{AB}\bigotimes \overrightarrow{AC})\overrightarrow{AT} \end{vmatrix}[/tex]

Riktig svar er

[tex]V(t)=\frac{25}{6}\begin{vmatrix} t-7 \end{vmatrix}[/tex]
Kristian Saug offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 462
Registrert: 11/11-2019 18:23

Re: vektorar

Innlegg geil » 10/02-2020 14:19

Hei!
Då forstår eg det slik:
Finn vektoren (AT) ⃗ og brukar formelen for volumet V_P = 1/6 · |(AB) ⃗ x (AC) ⃗ · (AT) ⃗ |
Sjå løysing nedanfor

Finn volumet av pyramiden.

r ⃗ = [ - 2 + 2t, t, - 2t]
A (5, 0, 0)
(n_α ) ⃗ = (AB) ⃗ x (AC) ⃗ = [25, 25, 25].
(AT) ⃗ = [- 2 + 2t - 5, t - 0, - 2t - 0] = [ - 7, t, - 2t]

V_P = 1/6 · |(AB) ⃗ x (AC) ⃗ · (AT) ⃗ | = 1/6 · |[25,25,25] · [ -7+2t,t,- 2t]|
= 1/6 · (25 ·(-7+2t)+25 ·t+25 ·(-2t)
= 1/6 · (- 175+50t+25t-50t) = 1/6 · (25t-175)
= 25/6 · (t-7)
geil offline

Re: vektorar

Innlegg Kristian Saug » 10/02-2020 14:49

Korrekt!

Men skriv [tex]V(t)[/tex], siden volumet er en funksjon av [tex]t[/tex].

Og husk absolutt-tegnet, [tex]\begin{vmatrix} t-7 \end{vmatrix}[/tex]. Det er noe annet enn [tex](t-7)[/tex],
siden volumet alltid har en positiv verdi.
Kristian Saug offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 462
Registrert: 11/11-2019 18:23

Re: vektorar

Innlegg geil » 10/02-2020 18:07

Tusen Takk for tipsa
Har notert dette med absoluttverdien og retta opp i oppgåva.
geil offline

Re: vektorar

Innlegg Gjest » 11/02-2020 19:11

Hei:) noen her som har tatt prøve i kapitlet 6 om vektorregning (fra Sinus boka)? Kan dere evt. Legge ut prøven deres? Har gjort kontrolloppgaven til kapitlet og noen eksamensoppgaver, men jeg vil Prøve meg på en vanlig prøve og ikke terminprøve om det gir mening.
Takk på forhånd:)
Gjest offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: MSN [Bot] og 300 gjester