Optimering i geometri(?)

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Optimering i geometri(?)

Innlegg OlaP » 17/02-2020 17:46

Ut av en metallplate skal vi lagen en sylinderformet boks med bunn, men uten lokk. Metallplata er 20 cm bred og 50 cm lang, radiusen i grunnflata til boksen er x cm.

a) Vis at volumet til funksjonen: V(x)= 2*pi(10x^2-x^3). Finn også definsjonsmengden til funksjonen V(x).

b) Finn ved regning for hvilke verdier av x vi får størst volum. Hva er volumet da?

Denne typen oppgaver kommer gang på gang på eksamenen som jeg skal ta i mai. Synes alt er greit bortsett fra nettopp dette. Hva er egentlig fremgangsmåten for slike oppgaver, og hva bør jeg egentlig kunne? Har faktisk ikke peiling på hvor jeg skal starte, pga at boka dekker optimering i geometri ganske dårlig.
Det fulgte med en arbeidstegning som jeg ikke får lagt til,
OlaP offline

Re: Optimering i geometri(?)

Innlegg Gustav » 17/02-2020 18:08

Litt vanskelig å forstå oppgaven uten arbeidstegningen
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4362
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Optimering i geometri(?)

Innlegg Senci777 » 17/02-2020 18:23

Oppgave i optimering i geometri .docx
Her er oppgaven med arbeidstegning:
(289.85 KiB) 15 ganger
Senci777 offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 16
Registrert: 22/08-2019 23:09

Re: Optimering i geometri(?)

Innlegg Gustav » 17/02-2020 19:06

a) Høyden i sylinderen blir $20-2x$, mens grunnflata har areal lik $\pi x^2$. Volumet blir dermed $V(x)=grunnflate*høyde=\pi x^2 (20-2x)=2\pi(10x^2-x^3)$. Definisjonsmengden til V er bestemt av hvilke verdier av x som er fysisk mulige. Vi ser av figuren at x må ligge mellom 0 og $\frac{50}{2\pi}$ cm, dvs. $D_V=\langle 0,\frac{50}{2\pi}]$

b) Her kan du finne toppunktet til V(x) ved hjelp av derivasjon. Regn ut V'(x) og nullstill den deriverte.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4362
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Optimering i geometri(?)

Innlegg Kristian Saug » 17/02-2020 19:42

Hei,

Se vedlagte løsningsforslag.
Vedlegg
Sylinder.odt
(62.32 KiB) 13 ganger
Sist endret av Kristian Saug den 17/02-2020 21:31, endret 1 gang
Kristian Saug offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 462
Registrert: 11/11-2019 18:23

Re: Optimering i geometri(?)

Innlegg Gustav » 17/02-2020 20:20

Kristian Saug skrev:Hei,

Definisjonsmengden må være [tex]D_{V}< 0,10>[/tex], siden [tex]0<x<10[/tex] for at dette skal være en sylinder.

Se vedlagte løsningsforslag.


Hvis radien er 10 er omkretsen større enn 50, så det er en begrensning på radien som er bestemt av sidelengden i metallplata.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4362
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Optimering i geometri(?)

Innlegg Kristian Saug » 17/02-2020 21:30

Javisst! Beklager.

Ellers er løsningen riktig.
Kristian Saug offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 462
Registrert: 11/11-2019 18:23

Re: Optimering i geometri(?)

Innlegg Senci777 » 18/02-2020 11:42

Men hvor får dere -2x fra? Og hvorfor er ikke siden som er 50cm tatt med i beregningen?
Senci777 offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 16
Registrert: 22/08-2019 23:09

Re: Optimering i geometri(?)

Innlegg Kristian Saug » 18/02-2020 12:22

Senci777 skrev:Men hvor får dere -2x fra? Og hvorfor er ikke siden som er 50cm tatt med i beregningen?


Radius til bunnen er [tex]x[/tex]. Da må bunnens diameter bli [tex]d=[/tex][tex]2x[/tex].
Igjen blir da plass til sylinderens høyde, [tex]h=20-2x[/tex].

Lengden på [tex]50[/tex] er tatt med i definisjonsmengden, [tex]D_{V}[/tex].
Se Gustav sitt innlegg.
Kristian Saug offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 462
Registrert: 11/11-2019 18:23

Re: Optimering i geometri(?)

Innlegg josi » 18/02-2020 12:27

Senci777 skrev:Men hvor får dere -2x fra? Og hvorfor er ikke siden som er 50cm tatt med i beregningen?


20 -2x angir høyden i sylinderen. Gitt arbeidstegningen er det hva som blir igjen til høyde når diameteren, 2x, i bunnsirkelen trekkes fra. 50 cm inngår i beregningen i den forstand at størrelsen setter en grense for hvor stor radien kan være. 2$\pi$x angir omkretsen av sylinderen. Denne kan ikke være lengre enn 50 cm. Definisjonsområdet for funksjonen, som oppgaven spør etter, blir følgelig $[0,\frac{50}{2\pi}]$.
josi offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google [Bot], Google Adsense [Bot] og 267 gjester