matematikk.net

Ut av en metallplate skal vi lagen en sylinderformet boks med bunn, men uten lokk. Metallplata er 20 cm bred og 50 cm lang, radiusen i grunnflata til boksen er x cm.

a) Vis at volumet til funksjonen: V(x)= 2*pi(10x^2-x^3). Finn også definsjonsmengden til funksjonen V(x).

b) Finn ved regning for hvilke verdier av x vi får størst volum. Hva er volumet da?

Denne typen oppgaver kommer gang på gang på eksamenen som jeg skal ta i mai. Synes alt er greit bortsett fra nettopp dette. Hva er egentlig fremgangsmåten for slike oppgaver, og hva bør jeg egentlig kunne? Har faktisk ikke peiling på hvor jeg skal starte, pga at boka dekker optimering i geometri ganske dårlig.
Det fulgte med en arbeidstegning som jeg ikke får lagt til,

Litt vanskelig å forstå oppgaven uten arbeidstegningen

a) Høyden i sylinderen blir $20-2x$, mens grunnflata har areal lik $\pi x^2$. Volumet blir dermed $V(x)=grunnflate*høyde=\pi x^2 (20-2x)=2\pi(10x^2-x^3)$. Definisjonsmengden til V er bestemt av hvilke verdier av x som er fysisk mulige. Vi ser av figuren at x må ligge mellom 0 og $\frac{50}{2\pi}$ cm, dvs. $D_V=\langle 0,\frac{50}{2\pi}]$

b) Her kan du finne toppunktet til V(x) ved hjelp av derivasjon. Regn ut V'(x) og nullstill den deriverte.

Hei,

Se vedlagte løsningsforslag.

Kristian Saug skrev:Hei,

Definisjonsmengden må være [tex]D_{V}< 0,10>[/tex], siden [tex]0<x<10[/tex] for at dette skal være en sylinder.

Se vedlagte løsningsforslag.

Hvis radien er 10 er omkretsen større enn 50, så det er en begrensning på radien som er bestemt av sidelengden i metallplata.

Javisst! Beklager.

Ellers er løsningen riktig.

Men hvor får dere -2x fra? Og hvorfor er ikke siden som er 50cm tatt med i beregningen?

Senci777 skrev:Men hvor får dere -2x fra? Og hvorfor er ikke siden som er 50cm tatt med i beregningen?

Radius til bunnen er [tex]x[/tex]. Da må bunnens diameter bli [tex]d=[/tex][tex]2x[/tex].
Igjen blir da plass til sylinderens høyde, [tex]h=20-2x[/tex].

Lengden på [tex]50[/tex] er tatt med i definisjonsmengden, [tex]D_{V}[/tex].
Se Gustav sitt innlegg.

Senci777 skrev:Men hvor får dere -2x fra? Og hvorfor er ikke siden som er 50cm tatt med i beregningen?

20 -2x angir høyden i sylinderen. Gitt arbeidstegningen er det hva som blir igjen til høyde når diameteren, 2x, i bunnsirkelen trekkes fra. 50 cm inngår i beregningen i den forstand at størrelsen setter en grense for hvor stor radien kan være. 2$\pi$x angir omkretsen av sylinderen. Denne kan ikke være lengre enn 50 cm. Definisjonsområdet for funksjonen, som oppgaven spør etter, blir følgelig $[0,\frac{50}{2\pi}]$.