Optimering i geometri(?)

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
OlaP

Ut av en metallplate skal vi lagen en sylinderformet boks med bunn, men uten lokk. Metallplata er 20 cm bred og 50 cm lang, radiusen i grunnflata til boksen er x cm.

a) Vis at volumet til funksjonen: V(x)= 2*pi(10x^2-x^3). Finn også definsjonsmengden til funksjonen V(x).

b) Finn ved regning for hvilke verdier av x vi får størst volum. Hva er volumet da?

Denne typen oppgaver kommer gang på gang på eksamenen som jeg skal ta i mai. Synes alt er greit bortsett fra nettopp dette. Hva er egentlig fremgangsmåten for slike oppgaver, og hva bør jeg egentlig kunne? Har faktisk ikke peiling på hvor jeg skal starte, pga at boka dekker optimering i geometri ganske dårlig.
Det fulgte med en arbeidstegning som jeg ikke får lagt til,
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Litt vanskelig å forstå oppgaven uten arbeidstegningen
Senci777
Noether
Noether
Innlegg: 34
Registrert: 23/08-2019 00:09

Oppgave i optimering i geometri .docx
Her er oppgaven med arbeidstegning:
(289.85 kiB) Lastet ned 162 ganger
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

a) Høyden i sylinderen blir $20-2x$, mens grunnflata har areal lik $\pi x^2$. Volumet blir dermed $V(x)=grunnflate*høyde=\pi x^2 (20-2x)=2\pi(10x^2-x^3)$. Definisjonsmengden til V er bestemt av hvilke verdier av x som er fysisk mulige. Vi ser av figuren at x må ligge mellom 0 og $\frac{50}{2\pi}$ cm, dvs. $D_V=\langle 0,\frac{50}{2\pi}]$

b) Her kan du finne toppunktet til V(x) ved hjelp av derivasjon. Regn ut V'(x) og nullstill den deriverte.
Kristian Saug
Abel
Abel
Innlegg: 637
Registrert: 11/11-2019 18:23

Hei,

Se vedlagte løsningsforslag.
Vedlegg
Sylinder.odt
(62.32 kiB) Lastet ned 189 ganger
Sist redigert av Kristian Saug den 17/02-2020 21:31, redigert 1 gang totalt.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Kristian Saug skrev:Hei,

Definisjonsmengden må være [tex]D_{V}< 0,10>[/tex], siden [tex]0<x<10[/tex] for at dette skal være en sylinder.

Se vedlagte løsningsforslag.
Hvis radien er 10 er omkretsen større enn 50, så det er en begrensning på radien som er bestemt av sidelengden i metallplata.
Kristian Saug
Abel
Abel
Innlegg: 637
Registrert: 11/11-2019 18:23

Javisst! Beklager.

Ellers er løsningen riktig.
Senci777
Noether
Noether
Innlegg: 34
Registrert: 23/08-2019 00:09

Men hvor får dere -2x fra? Og hvorfor er ikke siden som er 50cm tatt med i beregningen?
Kristian Saug
Abel
Abel
Innlegg: 637
Registrert: 11/11-2019 18:23

Senci777 skrev:Men hvor får dere -2x fra? Og hvorfor er ikke siden som er 50cm tatt med i beregningen?
Radius til bunnen er [tex]x[/tex]. Da må bunnens diameter bli [tex]d=[/tex][tex]2x[/tex].
Igjen blir da plass til sylinderens høyde, [tex]h=20-2x[/tex].

Lengden på [tex]50[/tex] er tatt med i definisjonsmengden, [tex]D_{V}[/tex].
Se Gustav sitt innlegg.
josi

Senci777 skrev:Men hvor får dere -2x fra? Og hvorfor er ikke siden som er 50cm tatt med i beregningen?
20 -2x angir høyden i sylinderen. Gitt arbeidstegningen er det hva som blir igjen til høyde når diameteren, 2x, i bunnsirkelen trekkes fra. 50 cm inngår i beregningen i den forstand at størrelsen setter en grense for hvor stor radien kan være. 2$\pi$x angir omkretsen av sylinderen. Denne kan ikke være lengre enn 50 cm. Definisjonsområdet for funksjonen, som oppgaven spør etter, blir følgelig $[0,\frac{50}{2\pi}]$.
Svar