ln(x-1)^2 + ln(x^2 -1) + ln(x+1)^2 = 0
Har prøvd alle forskjellige varianter av første og tredje logaritmeregel, uten å få riktig svar. Svaret skal bli pluss/minus kvadratrota av 2.
Logaritmer
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Kristian Saug
- Abel
- Innlegg: 637
- Registrert: 11/11-2019 18:23
.
Sist redigert av Kristian Saug den 29/02-2020 11:18, redigert 1 gang totalt.
-
josi
hint: $ln(x^2 - 1) = ln((x+1)(x-1)) = ln(x+1) + ln(x-1)$asterio skrev:ln(x-1)^2 + ln(x^2 -1) + ln(x+1)^2 = 0
Har prøvd alle forskjellige varianter av første og tredje logaritmeregel, uten å få riktig svar. Svaret skal bli pluss/minus kvadratrota av 2.
Kan du vise hva du gjør? Det er mulig du gjør mye rett, men bare en liten detalj feil, og det er verd å prøve å fullføre det på den måten.
-
asterio
ln(x-1)^2 + ln(x^2-1) + ln (x+1)^2 = ln1 <=> ln(x^2-2x+1) + ln(x-1) + ln(x+1) + ln(x^2+2x+1) - ln 1 = 0 . Opphøyer alt i eulers tall:
x^2-2x+1 + x-1 + x+1 + x^2 + 2x +1 -1 = 0 <=> 2x^2 -1 = 0 <=> x = kvadratota av 0.5 eller x = - kvadratrota av 0.5.
Denne er en av flere fremgangsmåter jeg har prøv, men er blir svaret minst absurd. Bryter jeg noen logaritmeregler her?
x^2-2x+1 + x-1 + x+1 + x^2 + 2x +1 -1 = 0 <=> 2x^2 -1 = 0 <=> x = kvadratota av 0.5 eller x = - kvadratrota av 0.5.
Denne er en av flere fremgangsmåter jeg har prøv, men er blir svaret minst absurd. Bryter jeg noen logaritmeregler her?
-
asterio
Ser forøvrig at det blir minus 1 på høyre side, noe som fører til at svaret til og med blir udefinert
-
Mattebruker
Prøv først å slå saman første og tredje leddet på V. S.
ln( x + 1)[tex]^{2}[/tex] + ln( x - 1 )[tex]^{2}[/tex] ( lna + lnb = ln(a[tex]\cdot[/tex]b) ) = ln[(x +1)[tex]^{2}[/tex][tex]\cdot[/tex]( x - 1)[tex]^{2}[/tex]] = ln[(x +1 )(x - 1 )][tex]^{2}[/tex] ( ln(a[tex]^{n}[/tex]) = n[tex]\cdot[/tex]lna ) = ……..
( bruk så konjugatsetninga , da får du eit ln-uttrykk som du kan slå saman med mellomleddet ln( x[tex]^{2} - 1)[/tex]
ln( x + 1)[tex]^{2}[/tex] + ln( x - 1 )[tex]^{2}[/tex] ( lna + lnb = ln(a[tex]\cdot[/tex]b) ) = ln[(x +1)[tex]^{2}[/tex][tex]\cdot[/tex]( x - 1)[tex]^{2}[/tex]] = ln[(x +1 )(x - 1 )][tex]^{2}[/tex] ( ln(a[tex]^{n}[/tex]) = n[tex]\cdot[/tex]lna ) = ……..
( bruk så konjugatsetninga , da får du eit ln-uttrykk som du kan slå saman med mellomleddet ln( x[tex]^{2} - 1)[/tex]
-
asterio
2ln(x^2-1) + ln(x-1) + ln(x+1) = 0 <=> x = 1 + kvadratrota av 2 eller 1 - kvadratrota av 2. ganske nærme, men får et ettall der. Det var vel slik du mente at uttrykket skulle se ut til slutt?
-
josi
Hvis du nå setter $2ln(x^2 - 1) = 2(ln((x+1)*(x-1)) = 2(ln(x+1)+ln(x-1)) = 2ln(x+1) +2ln(x-1)$, ser du at venstresiden i likningen blir $3ln(x+1) + 3ln(x-1)$. Ved å flytte over og dele på 3 får vi: $ln(x+1) = -ln(x-1) => x+1 = \frac{1}{x-1}$. Dermed $x^2 -1 = 1$ og $x = +/-\sqrt2$asterio skrev:2ln(x^2-1) + ln(x-1) + ln(x+1) = 0 <=> x = 1 + kvadratrota av 2 eller 1 - kvadratrota av 2. ganske nærme, men får et ettall der. Det var vel slik du mente at uttrykket skulle se ut til slutt?
-
Kristian Saug
- Abel
- Innlegg: 637
- Registrert: 11/11-2019 18:23
Alternativt løsningsforslag:
[tex]ln(x-1)^{2}+ln(x^{2}-1)+ln(x+1)^{2}=0[/tex]
[tex]2ln(x-1)+ln(x-1)+ln(x+1)+2ln(x+1)=ln1[/tex]
[tex]3(ln(x-1)+ln(x+1))=ln1[/tex]
[tex]3ln(x^{2}-1)=ln1[/tex]
[tex]ln(x^{2}-1)=ln1[/tex]
[tex]x^{2}-1=1[/tex]
[tex]x^{2}=2[/tex]
[tex]x=+/-\sqrt{2}[/tex]
Da tenker jeg du finner feilen din!
[tex]ln(x-1)^{2}+ln(x^{2}-1)+ln(x+1)^{2}=0[/tex]
[tex]2ln(x-1)+ln(x-1)+ln(x+1)+2ln(x+1)=ln1[/tex]
[tex]3(ln(x-1)+ln(x+1))=ln1[/tex]
[tex]3ln(x^{2}-1)=ln1[/tex]
[tex]ln(x^{2}-1)=ln1[/tex]
[tex]x^{2}-1=1[/tex]
[tex]x^{2}=2[/tex]
[tex]x=+/-\sqrt{2}[/tex]
Da tenker jeg du finner feilen din!
-
asterio
Tusen hjertelig takk for hjelpen! Men jeg har et spørsmål som gjelder generelt for slike typer logaritmelikninger.
Det er mange ganger at jeg har har prøvd å løse denne typen logaritmelikninger:
3 lnx - lnx^2 - ln (x-1) = ln2 <=> 3 lnx - 2 lnx - ln (x-1) = ln2 <=> lnx - lnx (x-1) = ln2 <=> ln (x/(x-1)) = ln 2. Opphøyer alt i Eulers tall => x/(x-1)) = 2 <=> x = 2(x-1) <=> x - 2x = -2 <=> x = 2.
Dette skjer gjentatte ganger. Svaret jeg får er riktig, men i fasiten har de funnet flere løsninger (i dette tilfellet x = 0). Jeg mener at jeg ikke har brutt noen logaritmeregler i fremgangsmåten min, så hvorfor får jeg ikke ''alle'' de riktige svarene? Er det rett og slett fordi vi har x^2 i denne oppgaven? Hva bør jeg være obs på?
Det er mange ganger at jeg har har prøvd å løse denne typen logaritmelikninger:
3 lnx - lnx^2 - ln (x-1) = ln2 <=> 3 lnx - 2 lnx - ln (x-1) = ln2 <=> lnx - lnx (x-1) = ln2 <=> ln (x/(x-1)) = ln 2. Opphøyer alt i Eulers tall => x/(x-1)) = 2 <=> x = 2(x-1) <=> x - 2x = -2 <=> x = 2.
Dette skjer gjentatte ganger. Svaret jeg får er riktig, men i fasiten har de funnet flere løsninger (i dette tilfellet x = 0). Jeg mener at jeg ikke har brutt noen logaritmeregler i fremgangsmåten min, så hvorfor får jeg ikke ''alle'' de riktige svarene? Er det rett og slett fordi vi har x^2 i denne oppgaven? Hva bør jeg være obs på?
-
Mattebruker
Likninga du viser til i eksemplet ditt har ei og berre ei løysing: x = 2
Og x = 0 kan slett ikkje vere løysing ettersom ln( 0 ) ikkje gir meining. Hugs at ln-funksjonen berre er definert for positive reelle tal.
Og x = 0 kan slett ikkje vere løysing ettersom ln( 0 ) ikkje gir meining. Hugs at ln-funksjonen berre er definert for positive reelle tal.
-
asterio
Ja, men dette var bare et av mange eksempler. x = 0, blir også strøket i fasitens fremgangsmåte, men det er urovekkende at de faktisk finner en annen eventuell løsning. Det har skjedd flere ganger at den andre eventuelle løsningen faktisk er riktig. Betyr dette at man kan gjøre slike oppgaver riktig, men at det finnes en ''bedre'' måte å gjøre de på, slik at man får flere eventuelle løsninger?