vektorar

[geil]

Hei!
Her er ei oppgåve som eg ikkje forstår-
Kan nokon hjelpe meg.
Eit plan skjer koordinatplana langs tre rette linjer

l_1: 2x + y – 2 = 0 z = 0

l_2: x + z – 1 = 0 y = 0

l_3: y + 2z – 2 = 0 x = 0

b) Finn likninga for planet α



a (〖x-x〗_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0

[Mattebruker]

Tips: Ut frå likningane kan vi lett finne tre punkt ( A , B og C ) i planet som ikkje ligg på ei rett linje.
Da er normalvektor

[tex]\overrightarrow{n}[/tex] = [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] x [tex]\overrightarrow{AC}[/tex],...... o.s.v…...

[geil]

Hei!
Her er heile oppgåva 2.131. R2 Sigma 2015.
Har løyst den slik og håper dette er greitt.

Oppgåve 2.131
Linja m er gitt i eit romkoordinatsystem ved

m: {█(x=2s @y=2+s @z=-2-3s)┤

a) Rekn ut vinkelen mellom m og xz-planet.

|(r_m ) ⃗ | = |[2,1,-3]| = √(2^2+1^2+〖(-3)〗^2 ) = √(4+1+9) = √14
|(n_xz ) ⃗ | = |[0,1,0]| = √(0^2+1^2+0^2 ) = √(0+1+0) = √1 = 1
|(r_m ) ⃗ | · |(n_xz ) ⃗ | = [2, 1, -3] · [0, 1, 0] = (2 · 0 + 1 · 1 + (- 3) · 0) = 0 + 1 + 0 = 1

cos ∠ ((r_m ) ⃗, (n_xz ) ⃗) = ((r_m ) ⃗ · (n_xz ) ⃗)/(|(r_m ) ⃗ | · |(n_xz ) ⃗ | ) = 1/(√14 · 1) = (1 · √14)/(√14 · √14 ) = 1/(14 ) √14 = 0,2673

cos – 1 (0,2673) ≈ 74,50°

∠ ((r_m ) ⃗, (n_xz ) ⃗) = 90° - 74,5 = 15,5°

Eit plan skjer koordinatplana langs tre rette linjer

b) Finn likninga for planet α

l_1: 2x + y – 2 = 0 z = 0

2x + 0 – 2 = 0 y = 0
2x = 2
x = 2/2
x = 1

A (1, 0, 0)

l_2: x + z – 1 = 0 y = 0

x + z – 1 = 0 x = 0
0 + z – 1 = 0
z = 1

B (0, 0, 1)

l_3: y + 2z – 2 = 0 x = 0

y + 2z – 2 = 0 z = 0
y + 0 – 2 = 0
y = 2

C (0, 2, 0)
(AB) ⃗ = [0 - 1, 0 - 0 , 1 - 0] = [ - 1, 0, 1]
(AB) ⃗ = [0 - 1, 2 - 0 , 0 - 0] = [ - 1, 2, 0]

(n_α ) ⃗ = (AB) ⃗ x (AC) ⃗ = [ - 1, 0, 1] x [ - 1, 2, 0]

(_-1^(-1)) _( 2 )^( 0 ) 〖⤨ 〗_( 0 )^( 1 ) 〖⤨ 〗_(-1)^(-1) 〖⤨ 〗_( 2 )^( 0) _( 0)^( 1)

[((0) · (0)) - ((2) · (1)), ((1) · (-1) - ((0) · (-1)), ((-1) · (2)) – ((-1) · (0))]
[(0 - 2), (-1 - 0), (- 2 - 0)] = [- 2, - 1. - 2] = - 1 [2, 1, 2]

A = (1, 0, 0)
(n_α ) ⃗ = [2, 1, 2]

a (〖x-x〗_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0
- 2(x - 1) - 1(y - 0) - 2(z - 0) = 0
- 2x + 2 - y - 0 - 2z - 0 = 0 │· (- 1)
2x + y + 2z – 2 = 0

α: 2x + y + 2z – 2 = 0

Eit anna plan β har likninga x - y = 0

c) Gi ei parameterframstilling av skjeringslinja n og mellom α og β.

α: 2x + y + 2z – 2 = 0
β x - y = 0


Vi vel å sette x = 0 og løyser likningssettet

n: {█(α:2x+y+2z-2=0@β:x-y=0 )┤

I +II {█(α:2 · 0+y+2z-2=0@β:0-y=0 )┤

I +II {█(α:2 · 0+y+2z-2=0@β:0-y=0 )┤

I + II α: 2z – 2 = 0 0-y=0 x = 0
2z = 2 y = 0
z = 2/2
z = 1



N_0 = (0, 0, 1)
(n_α ) ⃗ = [2, 1, 2]
(n_β ) ⃗ = [1, - 1, 0]

(v_n ) ⃗ = (n_α ) ⃗ x (n_β ) ⃗ = [2, 1, 2] x [1, - 1, 0]

(_1^2) _(-1 )^( 1 ) 〖⤨ 〗_( 0 )^( 2 ) 〖⤨ 〗_1^2 〖⤨ 〗_(-1 )^( 1) _( 0)^( 2)

[((1) · (0)) - ((-1) · (2)), ((2) · (1) - ((0) · (2)), ((2) · (-1)) – ((1) · (1))]
[(0 + 2), (2 - 0), (- 2 - 1)] = [2, 2, - 3]

n: {█(x=2t @y=2t @z=1-3t)┤

d) Rekn ut skjeringspunktet mellom n og xy-planet.

Skjeringspunktet med xy-planet er z = 0 og set inn i parameterframstillinga for linja n.

z = 1 – 3t
0 = 1 – 3t
3t = 1
t = 1/3

x = 2t y = 2t z = 0
x = 2 · 1/3 y = 2 · 1/3
x = 2/3 y = 2/3

S (2/3,2/3,0)

e) Rekn ut avstanden mellom m og n.

m: {█(x=2s @y=2+s @z=-2-3s)┤ n: {█(x=2t @y=2t @z=1-3t)┤

(n_δ ) ⃗ = (n_m ) ⃗ x (n_n ) ⃗ = [2, 1, - 3] x [2, 2, - 3]

(_2^2) _( 2 )^( 1 ) 〖⤨ 〗_( -3 )^( -3 ) 〖⤨ 〗_2^2 〖⤨ 〗_( 2 )^( 1) _(-3)^(-3)

[((1) · (-3)) - ((2) · (-3)), ((-3) · (2) - ((-3) · (2)), ((2) · (2)) – ((2) · (1))]
[(- 3 + 6), ( - 6 + 6), (4 - 2)] = [3, 0, 2]



N_0 = (0, 0, 1)
(n_δ ) ⃗ = [3, 0, 2]

δ: a (〖x-x〗_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0
3(x - 0) + 0(y -0) + 2(z -1) = 0
3x + 2z – 2 = 0

M_0 = (0, 2, - 2)
(n_δ ) ⃗ = [3, 0, 2]

q = |3 · 0 + 0 · 2 + 2 · (-2) - 2|/√(3^2 + 0^2 + 2^2 ).= |0 + 0 - 4 - 2|/√(9 + 0 + 4) = |- 6|/√13 = 6/√13 ≈ 1,66