trigonometriske ulikheter

[Senci777]

Hei! lurte på om noen kunne hjelpe meg med å forstå løsningsforslaget til filen som jeg legger til. Det dreier seg om linje 5 der det står at svaret blir 5pi/3 eller 4pi/3. Her har jeg som regel brukt å finne invers av cosinus, sinus eller tangens, men dette gir ikke riktig svar slik som i løsningsforslaget. Hva har de gjort?

[Kristian Saug]

Hei,

Da forstår jeg det slik at du har forstått t.o.m linje 4.

Så har vi linje 5

Vi ser at sinus til en vinkel (vinkelen er i parentes) skal være [tex]-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

Fra enhetsirkelen ser vi da at vinkelen enten er
[tex]\frac{4\pi }{3}[/tex] eller [tex]\frac{5\pi }{3}[/tex]

Og vinkelen er, som vi ser i parentes
[tex]\frac{\pi }{2}x-\frac{\pi }{6}[/tex]

Således får vi at
[tex]\frac{\pi }{2}x-\frac{\pi }{6}[/tex][tex]=[/tex][tex]\frac{4\pi }{3}[/tex]
eller
[tex]\frac{\pi }{2}x-\frac{\pi }{6}[/tex][tex]=[/tex][tex]\frac{5\pi }{3}[/tex]

osv....

OK?

[Senci777]

Tusen takk for oppklaringen! Jeg har bare et lite problem. Hvordan finner man vinklene helt ut på enhetssirkelen? Vi har jo holdt på med å finne de som er inni, mens i denne oppgaven må vi vite 4/3pi og 5/3pi. Må du bruke sinus invers eller noe, for å finne disse to?

[SveinR]

Tusen takk for oppklaringen! Jeg har bare et lite problem. Hvordan finner man vinklene helt ut på enhetssirkelen? Vi har jo holdt på med å finne de som er inni, mens i denne oppgaven må vi vite 4/3pi og 5/3pi. Må du bruke sinus invers eller noe, for å finne disse to?

Bruk symmetri på enhetssirkelen.

Du vet kanskje at [tex]\sin{\frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

Pga. symmetri må da den samme vinkelen, ned fra [tex]x[/tex]-aksen, gi [tex]-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] (treffer jo [tex]y[/tex]-aksen samme sted, bare på negativ side). Denne vinkelen er da enten [tex]2\pi-\frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}[/tex] eller [tex]\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}[/tex].

Tegn figurer så ser du kanskje hvorfor det blir slik. Noe av det viktigste hjelpemiddelet man har til å løse slike likninger er å forstå symmetrien i enhetssirkelen. Det kan kanskje også være enklere å tenke i grader først.

[Mattebruker]

Veit at sin[tex]\frac{\pi }{3}[/tex] = [tex]\frac{1}{2}\sqrt{3}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] ( speglar 2. beinet om origo )

sin([tex]\frac{\pi }{3}[/tex] + [tex]\pi[/tex] = -[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\sqrt{3}[/tex]

[Kristian Saug]

Vet ikke helt hva du mener med vinkler "helt ut på enhetsirkelen" og de som er "inni".

Vi har at

[tex]sin(0)=0[/tex]

[tex]sin(\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}[/tex]

[tex]sin(\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

[tex]sin(\frac{\pi }{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

[tex]sin(\frac{\pi }{2})=1[/tex]

Tegn enhetsirkelen, så ser du at
[tex]sin(\frac{4\pi }{3})=sin(\frac{5\pi }{3})=\frac{-\sqrt{3}}{2}[/tex]

Ved å bruke sinus invers, får du antakelig opp den ene vinkelen. Og må tegne (eller tenke) enhetsirkelen for å finne den andre.

Se vedlegg for løsning med enhetsirkel. Den er stygt tegnet, men prøv å forstå den.

[Mattebruker]

Framhald av mitt forrige innlegg ( klokka 16:14 ) :

Veit dessutan at sin-funksjonen er ein odde funksjon( symmetri om origo ) med periode lik 2[tex]\pi[/tex]
Denne infoen gir

sin(-[tex]\frac{\pi }{3}[/tex] ) = - sin([tex]\frac{\pi }{3}[/tex] ) = - [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] = sin( -[tex]\frac{\pi }{3}[/tex]+ 2[tex]\pi[/tex] ) = sin([tex]\frac{5\pi }{3}[/tex] ).
Elles meiner eg at symmetrieigenskapane til sin- og cos-funksjonen kan lesast av på dei respektive grafane like lett som at vi brukar einingssirkelen. Men dette er sjølvsagt ei vanesak.