Finne amplitude osv...svingninger gjør meg surrete >_<

[Buna]

Jeg skal finne amplitude og akrofasen til en harmonisk svinging:
f(t)=cos3t-2sin3t

Jeg kan vel skrive den om på formen:
f(t)=[rot](1^2+(-2)^2)[/rot]*cos3(t-t[sub]0[/sub])
f(t)=[rot](5)[/rot]*cos3(t-t[sub]0[/sub])

Da er det vel første [rot]5[/rot]=2.2 som er amplituden, og middelverdien liggende på 0? Men hvordan skal jeg gå videre frem for å finne akrofase/topp? :S Det er vel egentlig verdien av t[sub]0[/sub]?

På forhånd takk for svar!

Kos, Buna

[Buna]

Tegna opp på kalkuator og den gir at amplituden blir ~2.2, så der har jeg riktig... men så er det å finne akrofasen da...t[sub]0[/sub]. Første punktet i t koordinaten som har amplitude 2.2. Har vha kalkuator funnet ut at det må være ~1.7, men hvordan kan jeg gå frem for å finne det matematisk?

I tillegg trenger jeg å finne alle verdier av t som er slik at cos3t=2sin3t... :/

[Solar Plexsus]

f(t) = [rot][/rot]5 cos(3t - 3t[sub]0[/sub]) = [rot][/rot]5 cos(3t[sub]0[/sub])*cos(3t) + [rot][/rot]5 sin(3t[sub]0[/sub])*sin(3t).

Altså må

[rot][/rot]5 cos(3t[sub]0[/sub]) = 1,
[rot][/rot]5 sin(3t[sub]0[/sub]) = -2.

som medfører at

-2/1 = [rot][/rot]5 sin(3t[sub]0[/sub]) / [rot][/rot]5 cos(3t[sub]0[/sub]).

M.a.o. er tan(3t[sub]0[/sub]) = -2, så

t[sub]0[/sub] = tan[sup]-1[/sup](-2)/3.

Denne omskrivningen av f(t) gjør det enkelt å finne nullpunktene til f:

f(t) = 0

[rot][/rot]5 cos(3t - 3t[sub]0[/sub]) = 0

3t - 3t[sub]0[/sub] = [pi][/pi]/2 + k[pi][/pi] (k heltall)

t = [pi][/pi]/6 + k[pi][/pi]/3 + t[sub]0[/sub]

[Buna]

Tusen takk! for raskt svar! Tror jeg skjønner det nå. Skal lese igjennom et par ganger så blir jeg kanskje litt "illuminated".

Men hvordan finner jeg verdier av t som slik at
cos3t=2sin3t
?

[Solar Plexsus]

Likningen cos(3t) = 2sin(3t) er ekvivalent med f(t) = 0. Denne likningen har jeg løst på slutten av mitt løsningsforslag.

[Buna]

Ahhh! Nå forstår jeg! Takker!!!

[Gjest]

HMMMM!

Utregningen av Solar Plexus' t[sub]0[/sub] får jeg ikke til å stemme.

Akrofasen skal være ~1,725.

Han skriver at t[sub]0[/sub] = tan[sup]-1[/sup](-2/3) som gir -0,588.

Hva er det jeg ikke skjønner?

Jeg har fått hjelp av et regnehefte til å finne t[sub]0[/sub] på følgende måte:

t[sub]0[/sub] = (1/w) cos[sup]-1[/sup] (a/C)
t[sub]0[/sub] = (1/3) cos[sup]-1[/sup] (1/[rot]5[/rot]) = 0,369

Deretter :

Hvis b<0 må vi korrigere (Kan noen forklare dette?)

t[sub]0[/sub][sup]ny[/sup] = (2[pi][/pi]/w) - t[sub]0[/sub][sup]gammel[/sup]
t[sub]0[/sub] = (2[pi][/pi]/3) - 0,369 = 1,725

Så på denne måten fant jeg svaret jeg forventet men jeg aner ikke hvorfor jeg fikk det svaret!

Kan noen forklare? Takk!

[Gjest]

Ingen glupe hoder som kan avse det i bløt en stund?

[Solar Plexsus]

Undertegnede har nå forstått at akrofasen t[sub]0[/sub] er den minste positive verdien av t[sub]0[/sub] som tilfredsstiller likningene cos(3t[sub]0[/sub]) = 1/[rot][/rot]5 og sin(3t[sub]0[/sub]) = -2/[rot][/rot]5. M.a.o må 3[pi][/pi]/2 < 3t[sub]0[/sub] < 2[pi][/pi].
Følgelig blir

3t[sub]0[/sub] = 2[pi][/pi] + tan[sup]-1[/sup](-2)

t[sub]0[/sub] = [2[pi][/pi] + tan[sup]-1[/sup](-2)] / 3

t[sub]0[/sub] ≈ 1,725.