Skjæring mellom plan

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Skjæring mellom plan

Innlegg r22 » 18/03-2020 00:26

Hei, noen som kan hjelpe?

Bestem en parameterframstilling for skjæringslinja mellom planene 2x + y + 2z - 5 = 0 og yz-planet

Takk på forhånd!
r22 offline

Re: Skjæring mellom plan

Innlegg josi » 18/03-2020 01:24

r22 skrev:Hei, noen som kan hjelpe?

Bestem en parameterframstilling for skjæringslinja mellom planene 2x + y + 2z - 5 = 0 og yz-planet

Takk på forhånd!


Sett $ x = 0 $ i likningen $2x + y + 2z -5 = 0$. Det gir likningen $ y + 2z -5 = 0$. Dette er likningen for planet som er parallelt med $x$-aksen og som går gjennom punktene $(0,0,\frac 52)$ og $(0,5,0)$. Uttrykket kan også betraktes som likningen for skjæringslinjen i $zy$-planet mellom de to gitte planene. En parameterfremstilling for denne er:
$ x = 0,
y = t,
z = \frac 52 - \frac 12 *t $
josi offline

Re: Skjæring mellom plan

Innlegg r22 » 18/03-2020 02:06

fasiten sier at svaret er x=0 y=1+2t z=2-t
r22 offline

Re: Skjæring mellom plan

Innlegg r22 » 18/03-2020 02:31

Dette har jeg kommet fram til så lang:

[2,1,2]x[1,0,0]=[0,2,-1]
Skal nå sette x=0 i likningen 2x+y+2z-5=0 og får y+2z-5=0

Har jeg regnet riktig så langt? Hva gjør jeg i så fall videre?
r22 offline

Re: Skjæring mellom plan

Innlegg Kristian Saug » 18/03-2020 08:51

Hei,

Det du skal gjøre, er å se tilbake på josi sitt løsningsforslag. Det er helt korrekt og godt forklart!
Fasitsvaret du refererer til danner den samme skjæringslinja som josi kom frem til.

Jeg kan prøve å forklare litt mer utførlig, step for step:

[tex]y-z[/tex] planet har, som du også sier en normalvektor [tex]\overrightarrow{n_{\beta }}=\begin{bmatrix} 1,0,0 \end{bmatrix}[/tex] og planet går bl a gjennom origo, [tex]O(0,0,0)[/tex]

Vi har dermed likningen for [tex]x-y[/tex] planet:
[tex]\beta :[/tex] [tex]x=0[/tex]
(dette vet vi fra før og kunne satt det opp direkte)

Det andre planet har likningen
[tex]\alpha :2x+y+2z=5[/tex]

Disse to planene skjærer hverandre i en linje, [tex]l[/tex] der [tex]\alpha =\beta[/tex]

Vi vet at
[tex]x=0[/tex]
i denne linja, fordi [tex]\beta[/tex] befinner seg bare i punkter der [tex]x=0[/tex]

Videre vil skjæringslinja, [tex]l[/tex] befinne seg i ett utall av [tex]y-[/tex] verdier og vi velger da å sette
[tex]y=t[/tex]

Til slutt vil vi da ut fra likningen til [tex]\alpha[/tex] og at [tex]y=t[/tex] få
[tex]z=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}t[/tex]

Og følgelig parameterframstillingen for [tex]l:[/tex]

[tex]l:\left\{\begin{matrix} x=0\\y=t \\z=\frac{5}{2} -\frac{1}{2}t \end{matrix}\right.[/tex]

Vi kunne også valgt at [tex]z=t[/tex] og fått en annen framstilling, men samme linje! Derfor er ikke fasitsvaret det eneste riktige.
Med [tex]y=1+2t[/tex], som lærebokforfatteren har valgt, fås også et pent uttrykk for [tex]z[/tex].


Se vedlegg for visualisering.
Vedlegg
to plan og skj.linje.odt
(89.59 KiB) 9 ganger
Kristian Saug offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 464
Registrert: 11/11-2019 18:23

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: MSN [Bot] og 254 gjester