matematikk.net

Hei!
Har ei oppgåve som eg ikkje får til.
Er det nokon som kan hjelpe.

Oppgåve og informasjon sjå nedafor
Har funne volumet til OABC.
Korleis skal ein finne skjeringspunkta D på AC og E BC

Planet β skjer AC i eit punkt D og BC i eit punkt E. Finn forholdet mellom voluma av dei to
pyramidane OABC og ODEC.

(AC) ⃗ = [0 – 9, 0 – 0, 3 - 0] = [ - 9, 0, 3] = 3 · [- 3, 0, 1]
(BC) ⃗ = [0 – 0, 0 – 6, 3 - 0] = [0, - 6, 3] = 3 · [0, - 2, 1]

β: 2x + 3y – 3z = 0

(AB) ⃗ = [ - 9, 6, 0]

(AB) ⃗ x (AC) ⃗ = [ - 9, 6, 0] x [ - 9, 0, 3]

(_-9^(-9)) _( 0 )^( 6) 〖⤨ 〗_( 3)^( 0 ) 〖⤨ 〗_(-9)^(-9) 〖⤨ 〗_( 0 )^( 6) _( 3)^( 0)

[((6) · (3)) - (0) · (0)), (0) · (-9) - ((3) · (-9)), ((-9) · (0)) – ((-9) · (6))]
[(18 - 0), (0 + 27), (0 + 54)] = [18, 27, 54] = 9 · [ 2, 3, 6]

V = 1/6 · |((AB) ⃗ x (AC)) ⃗·(AO) ⃗ | = 1/6 · |[18,27,54] ·[9,0,0] | = 1/6 · (18 · 9 + 27 · 0 + 54 · 0)
= 1/6 · (162) = 27

V = 1/6 · |((CD) ⃗ x (CE)) ⃗·(CO) ⃗ | = 1/6 · |[?,?,?] ·[0,0,3] | = 1/6 · (18 · 9 + 27 · 0 + 54 · 0)
= 1/6 · (?) = ?

Hei!
Fikk tenkt meg litt om.
Fann parameterframstillinga til linja AC og BC
og fann då skjeringspunkta D og E med planet β

Løysinga vart då sjå nedafor

f) Planet β skjer AC i eit punkt D og BC i eit punkt E. Finn forholdet mellom voluma av dei to
pyramidane OABC og ODEC.

(AC) ⃗ = [0 – 9, 0 – 0, 3 - 0] = [ - 9, 0, 3] = 3 · [- 3, 0, 1]
(BC) ⃗ = [0 – 0, 0 – 6, 3 - 0] = [0, - 6, 3] = 3 · [0, - 2, 1]

β: 2x + 3y – 3z = 0
(AB) ⃗ = [ - 9, 6, 0]

(AB) ⃗ x (AC) ⃗ = [ - 9, 6, 0] x [ - 9, 0, 3]

(_-9^(-9)) _( 0 )^( 6) 〖⤨ 〗_( 3)^( 0 ) 〖⤨ 〗_(-9)^(-9) 〖⤨ 〗_( 0 )^( 6) _( 3)^( 0)

[((6) · (3)) - (0) · (0)), (0) · (-9) - ((3) · (-9)), ((-9) · (0)) – ((-9) · (6))]
[(18 - 0), (0 + 27), (0 + 54)] = [18, 27, 54] = 9 · [ 2, 3, 6]

V_0ABC = 1/6 · |((AB) ⃗ x (AC)) ⃗·(OA) ⃗ | = 1/6 · |[18,27,54] ·[9,0,0] | = 1/6 · (18 · 9 + 27 · 0 + 54 · 0)
= 1/6 · (162) = 27

Parameterframstilling av linja AC

l: {█(x=9-9t@y=0 @z=3t )┤

2x + 3y – 3z = 0
2 · (9 - 9t) + 3 · 0 – 3 · 3t = 0
18 – 18t + 0 – 9t = 0
- 27t = - 18
t = 18/27
t = 2/3

x = 9 – 9t z = 3t
x = 9 – 9 · 2/3 z = 3 · 2/3
x = 9 – 6 z = 2
x = 3 y = 0 z = 2

D (3, 0, 2)

Parameterframstilling av linja BC

l: {█(x=0 @y=6-2t @z=t )┤

2x + 3y – 3z = 0
2 · 0 + 3 · (6 – 2t) – 3 · t = 0
0 + 18 - 6t – 3t = 0
- 9t = - 18
t = 18/9
t = 2

y = 6 – 2t z = t
y = 6 – 2 · 2 z = 3 · 2
y = 6 - 4 z = 6
x = 0 y = 2 z = 6

E (0, 2, 6)

(CD) ⃗ = [3 - 0, 0 - 0, 2 - 3] = [3, 0, - 1]
(CE) ⃗ = [0 - 0, 2 - 0, 6 - 3] = [0, 2, 3]

(CD) ⃗ x (CE) ⃗ = [3, 0, - 1] x [0, 2, 3]

(_0^3) _( 2 )^( 0) 〖⤨ 〗_( 3)^(-1 ) 〖⤨ 〗_0^3 〖⤨ 〗_( 2 )^( 0) _( 3)^(-1)

[((0) · (3)) - (2) · (-1)), (1) · (0) - ((3) · (3)), ((3) · (2)) – ((0) · (0))]
[(0 + 2), (0 - 9), (6 - 0)] = [2, - 9, 6]

V_0DEC = 1/6 · |((CD) ⃗ x (CE)) ⃗·(OC) ⃗ | = 1/6 · |[2,- 9,6] ·[0,0,3] | = 1/6 · (2 · 0 + ( - 9) · 0 + 6 · 3)
= 1/6 · 18 = 3

Forholdet: V_0ABC/V_0DEC = 27/3 = 9

Forholdet mellom V_0ABC og V_0DEC er 9.

Hei,

Du har kommet frem til helt riktige svar.

Men jeg har [tex]E(0,2,2)[/tex]

Takk for innspelet du har heilt rett E (0, 2, 2)

Fordi ((CD) ⃗ x (CE)) ⃗ · OD = [2, - 9, 6] · [0,0,3] = 18
vart svaret riktig fordi vektorproduket z-koordinat vart 6
x og y koordinaten i vektorproduktet gonges med null og
påverka difor ikkje svaret

Rett utrekning skal vere ((CD) ⃗ x (CE)) ⃗ · OD = [2,3,6] · [0,0,3]l

har rettet alt opp i oppgåva sjå nedafor.

Parameterframstilling av linja BC

l: {█(x=0 @y=6-2t @z=t )┤

2x + 3y – 3z = 0
2 · 0 + 3 · (6 – 2t) – 3t = 0
0 + 18 - 6t – 3t = 0
- 9t = - 18
t = 18/9
t = 2

y = 6 – 2t z = t
y = 6 – 2 · 2 z = 2
y = 6 - 4 z = 2
x = 0 y = 2 z = 2

E (0, 2, 2)

(CD) ⃗ = [3 - 0, 0 - 0, 2 - 3] = [3, 0, - 1]
(CE) ⃗ = [0 - 0, 2 - 0, 2 - 3] = [0, 2, - 1]

(CD) ⃗ x (CE) ⃗ = [3, 0, - 1] x [0, 2, - 1]

(_0^3) _( 2 )^( 0) 〖⤨ 〗_(-1)^(-1 ) 〖⤨ 〗_0^3 〖⤨ 〗_( 2 )^( 0) _(-1)^(-1)

[((0) · (-1)) - (2) · (-1)), (-1) · (0) - ((-1) · (3)), ((3) · (2)) – ((0) · (0))]
[(0 + 2), (0 + 3), (6 - 0)] = [2, 3, 6]

V_0DEC = 1/6 · |((CD) ⃗ x (CE)) ⃗·(OC) ⃗ | = 1/6 · |[2,3,6] · [0,0,3] | = 1/6 · (2 · 0 + 3 · 0 + 6 · 3)
= 1/6 · 18 = 3

Forholdet: V_0ABC/V_0DEC = 27/3 = 9


en OC (0, 0, 3)

Parameterframstilling av linja BC

l: {█(x=0 @y=6-2t @z=t )┤

2x + 3y – 3z = 0
2 · 0 + 3 · (6 – 2t) – 3 · t = 0
0 + 18 - 6t – 3t = 0
- 9t = - 18
t = 18/9
t = 2

y = 6 – 2t z = t
y = 6 – 2 · 2 z = 2
y = 6 - 4 z = 2
x = 0 y = 2 z = 2

E (0, 2, 2)

(CD) ⃗ = [3 - 0, 0 - 0, 2 - 3] = [3, 0, - 1]
(CE) ⃗ = [0 - 0, 2 - 0, 2 - 3] = [0, 2, - 1]

(CD) ⃗ x (CE) ⃗ = [3, 0, - 1] x [0, 2, - 1]

(_0^3) _( 2 )^( 0) 〖⤨ 〗_(-1)^(-1 ) 〖⤨ 〗_0^3 〖⤨ 〗_( 2 )^( 0) _(-1)^(-1)

[((0) · (-1)) - (2) · (-1)), (-1) · (0) - ((-1) · (3)), ((3) · (2)) – ((0) · (0))]
[(0 + 2), (0 + 3), (6 - 0)] = [2, 3, 6]

V_0DEC = 1/6 · |((CD) ⃗ x (CE)) ⃗·(OC) ⃗ | = 1/6 · |[2,3,6] ·[0,0,3] | = 1/6 · (2 · 0 + 3 · 0 + 6 · 3)
= 1/6 · 18 = 3

Forholdet: V_0ABC/V_0DEC = 27/3 = 9

Flott. Godt jobbet, igjen!