matematikk.net

Skal finne;[tex]\lim_{x \to \infty }\frac{6^x+4^x}{x^{50}-2*6^{x}}[/tex]

jeg legger merke til at [tex]x^{50} > 6^{x}[/tex], dvs dominerende ledd

[tex]\lim_{x \to \infty }\frac{6^x+4^x}{x^{50}-2*6^{x}}=\frac{\frac{6^x}{x^{50}}+\frac{4^x}{x^{50}}}{1-\frac{2*6^x}{x^{50}}}[/tex]

men kommer ikke meg videre...

kan vel ikke heller anvende L'HÔPITALS?

Grense03 skriv: jeg legger merke til at x^50 > 6^x .

Her trur eg du tek feil. Eksponentialfunksjonen a^x ( a > 1 ) vil " vinne over " potensfunksjonen x^k ( k > 1 ) når x går mot uendeleg. Det dominerande leddet i brøkuttrykket er såleis 6[tex]^{x}[/tex]

For å få tak i grenseverdien , bør vi difor dele kvart ledd i teljar og nemnar med 6^x. Når så x går mot uendeleg , står vi tilbake med 1 i teljar og -2 i nemnar.

Mattegjest skrev:Grense03 skriv: jeg legger merke til at x^50 > 6^x .

Her trur eg du tek feil. Eksponentialfunksjonen a^x ( a > 1 ) vil " vinne over " potensfunksjonen x^k ( k > 1 ) når x går mot uendeleg. Det dominerande leddet i brøkuttrykket er såleis 6[tex]^{x}[/tex]

.

jeg ser dette nå, men kunne dette bevises matematisk?

Interessant spørsmål. Å vise at $6^x$ vokser raskere enn $x^{50}$ er noe mange tar for gitt, siden vi lærer at eksponentielle funksjoner alltid vokser raskere enn polynomer.

En måte man kan overbevise seg selv om dette er å se på grenseverdien $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{6^x}{x^{50}}$. Hvis du bruker L'Hopital på akkurat denne, så vil du finne at denne grensen går mot uendelig (fordi graden til nevneren synker med hver derivering, mens graden til telleren forblir), som betyr at telleren vokser raskere enn nevneren når $x\to\infty$. Derfra ser vi at $6^x$ nødvendigvis må være det dominerende leddet fremfor $x^{50}$.

Observer også at denne bevisføringa kan brukes på alle "eksponentiell vs. polynom som dominerende ledd"-spørsmål, med samme fremgangsmåte, såfremt grunntallet er større enn 1 i den eksponentielle potensen.