Hei. Jeg sliter veldig med ei spesiell oppgave. Den er som følger:
Gitt en regulær 5-kant ABCDE med sentrum i O
a) Vis at vektor OA + vektor OB + Vektor OC + vektor OD + vektor OE = 0 (Null vektor)
Denne får jeg bare ikke til. Forsøkt mange, mange ganger
b)
Vis at vektor AB + vektor AC + vektor AD + Vektor AE = 5 AO vektor
Denne får jeg heller ikke til. Forsøkt i mange, mange ganger
Takknemlig for hjelp
Vektorregning av regulær 5-kant
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Tips! Teikn figur. Da ser vi at OD ligg på halveringslinja til [tex]\angle[/tex]AOB, o.s.v......
Det betyr at [tex]\frac{1}{2}[/tex] ( [tex]\overrightarrow{OA}[/tex] + [tex]\overrightarrow{OB}[/tex] ) = - [tex]\overrightarrow{OD}[/tex] , o.s.v……...
Det betyr at [tex]\frac{1}{2}[/tex] ( [tex]\overrightarrow{OA}[/tex] + [tex]\overrightarrow{OB}[/tex] ) = - [tex]\overrightarrow{OD}[/tex] , o.s.v……...
Ser no at eg tok litt for lett på dette problemet. Vil heller skrive
[tex]\overrightarrow{OA}[/tex] + [tex]\overrightarrow{OB}[/tex] = -k [tex]\cdot[/tex] [tex]\overrightarrow{OD}[/tex] , k > 0
P.S. konstanten k er openbart forskjellig frå 2
[tex]\overrightarrow{OA}[/tex] + [tex]\overrightarrow{OB}[/tex] = -k [tex]\cdot[/tex] [tex]\overrightarrow{OD}[/tex] , k > 0
P.S. konstanten k er openbart forskjellig frå 2
Tror at jeg, etter en del fumling, har funnet en løsning, men jeg har en mistanke om at det finnes enklere måter.vidaas skrev:Hei. Jeg sliter veldig med ei spesiell oppgave. Den er som følger:
Gitt en regulær 5-kant ABCDE med sentrum i O
a) Vis at vektor OA + vektor OB + Vektor OC + vektor OD + vektor OE = 0 (Null vektor)
Denne får jeg bare ikke til. Forsøkt mange, mange ganger
b)
Vis at vektor AB + vektor AC + vektor AD + Vektor AE = 5 AO vektor
Denne får jeg heller ikke til. Forsøkt i mange, mange ganger
Takknemlig for hjelp
Siden den regulære femkanten med sentrum i origo, $O$, er symmetrisk om y-aksen, vil x-komponentene til alle vektorene kansellere, i.e. summen av dem vil være lik null. Men siden femkanten ikke er symmetrisk om x-aksen, er det ikke åpenbart, i hvert fall ikke for meg, at y-komponentene til disse kansellerer. Men ved å vise at de gjør det, viser vi også at summen av vektorene = 0.
La $\vec{OA} $ peke mot sørvest og $\vec{OB}$ peke mot sørøst. Sentralvinkelen, den mellom OA og OB, er $72$ grader. $|\vec{OA}| = 1 $. Da blir absoluttsummen av y-komponentene $\vec{OA}$ og $\vec{OB}$ =$2 * cos(36)$.
Summen av y-komponentene til $\vec{OC},\vec{OD}$ og $\vec{OE} = 2 cos(72) + 1$.
Så vi må vise$ 2 * cos(36) = 2 * cos(72) +1$.
Lommeregneren viser at $ 2 * cos(36) = 1.618033989 = 2 * cos(72) + 1$. Dette gir oss en pekepinn, men ikke noe bevis.
Det gylne snitt, $\Phi = \frac{1 + \sqrt5}2 = 1.618033989$. Sammenhengen mellom Det gylne snitt og den regulære femkanten kan ses ved den likebente trekanten $ABD$.Linjen $EC$ i
femkanten $ABCDE$ er parallelll med x-aksen og $AB$. Den skjærer $BD$ i $F$ og $OD$ i $G$.
Da vil $\frac{BF}{FD} = \Phi$, det gylne snitt. La midtpunktet på $AB$ være $H$. Da vil også
$\frac{HG}{GD} = \Phi$.
$HG = cos(36) + cos(72)$
$GD= 1 - cos(72)$.
Vi får følgende likning:
$ \frac{ cos(36) + cos(72)}{1 - cos(72)} =\frac{1 + \sqrt5}2$.
(Her må vi løsningen benytte oss av at $\sqrt{30 + 10\sqrt5} = \sqrt5 + 5$)
Det gir $cos(36) = \frac{1 + \sqrt5}4$, og dermed endelig $2cos36) = 1 + 2cos(72)$
Da er vi i land.
b)
Vis at vektor AB + vektor AC + vektor AD + Vektor AE = 5 AO vektor
Denne får jeg heller ikke til. Forsøkt i mange, mange ganger
Takknemlig for hjelp[/quote]
La midtpunktet på $CD$ i den regulære femkanten være $I$. Da er $AB$ og $AE$ symmetriske om
$AI$. Det samme gjelder for $AC$ og $AD$.
$\vec{AB} + \vec{AE} + \vec{AC} +\vec{AD} = 2(AO - AO * cos(72)) + 2(AO + AO * cos(36))$ =
$AO * (2 - 2 * cos(72) + 2 + 2 * cos(36)) = AO * (4 - 2 * (2 *cos(36)^2 -1) + 2 * cos(36))$
$= AO( 4 - 2 * (2 * \frac{{(1+\sqrt5)}^2}{16} -\frac{16}{16}) + 2 * \frac{(1+\sqrt5}4)$.
$= AO( 4 + \frac{2 + 2\sqrt5}{4} - \frac{2\sqrt5 -2}{4}) = AO(4 + \frac{2 + 2\sqrt5 -2\sqrt5 + 2}4)$
$ = 5AO$.
Vis at vektor AB + vektor AC + vektor AD + Vektor AE = 5 AO vektor
Denne får jeg heller ikke til. Forsøkt i mange, mange ganger
Takknemlig for hjelp[/quote]
La midtpunktet på $CD$ i den regulære femkanten være $I$. Da er $AB$ og $AE$ symmetriske om
$AI$. Det samme gjelder for $AC$ og $AD$.
$\vec{AB} + \vec{AE} + \vec{AC} +\vec{AD} = 2(AO - AO * cos(72)) + 2(AO + AO * cos(36))$ =
$AO * (2 - 2 * cos(72) + 2 + 2 * cos(36)) = AO * (4 - 2 * (2 *cos(36)^2 -1) + 2 * cos(36))$
$= AO( 4 - 2 * (2 * \frac{{(1+\sqrt5)}^2}{16} -\frac{16}{16}) + 2 * \frac{(1+\sqrt5}4)$.
$= AO( 4 + \frac{2 + 2\sqrt5}{4} - \frac{2\sqrt5 -2}{4}) = AO(4 + \frac{2 + 2\sqrt5 -2\sqrt5 + 2}4)$
$ = 5AO$.
Alternativ løysing:
[tex]\overrightarrow{AB}[/tex] = [tex]\overrightarrow{AO}[/tex] + [tex]\overrightarrow{OB}[/tex]
.
.
.
.
AE-vektor = AO-vektor+ OE-vektor
Summer V.S. og H.S. Da får vi at
AB-vektor + …………. + AE-vektor = 4 AO-vektor + OB-vektor + ………. + OE-vektor .
Bruk så resultatet frå pkt. a ) , og vi er i mål .
[tex]\overrightarrow{AB}[/tex] = [tex]\overrightarrow{AO}[/tex] + [tex]\overrightarrow{OB}[/tex]
.
.
.
.
AE-vektor = AO-vektor+ OE-vektor
Summer V.S. og H.S. Da får vi at
AB-vektor + …………. + AE-vektor = 4 AO-vektor + OB-vektor + ………. + OE-vektor .
Bruk så resultatet frå pkt. a ) , og vi er i mål .
Punkt a: Alternativ løysing.
Teikn figur ! Da ser vi at OD ligg på halv. linja til vinkel AOB, OE ligg på halv. linja til vinkel BOC, o.s.v............
Da har vi at OA-vektor + OB-vektor = -k * OD-vektor , 0 < k < 2 ( hugs at abs( OA ) = abs( OB ) = abs ( OD ) )
OB-vektor + OC-vektor = - k * OE-vektor
OC-vektor + OD-vektor = - k * OA-vektor
OD-vektor + OE-vektor = -k * OB-vektor
OE-vektor + OA-vektor = - k * OC-vektor
Summerer og får
( 2 + k ) ( OA + OB + OC + OD + OE ) = 0 ( fordi ( 2 + k ) ulik 0 ( > 2 ) ) OA + OB + OC + OD + OE = 0 ( s. s. v. )
Teikn figur ! Da ser vi at OD ligg på halv. linja til vinkel AOB, OE ligg på halv. linja til vinkel BOC, o.s.v............
Da har vi at OA-vektor + OB-vektor = -k * OD-vektor , 0 < k < 2 ( hugs at abs( OA ) = abs( OB ) = abs ( OD ) )
OB-vektor + OC-vektor = - k * OE-vektor
OC-vektor + OD-vektor = - k * OA-vektor
OD-vektor + OE-vektor = -k * OB-vektor
OE-vektor + OA-vektor = - k * OC-vektor
Summerer og får
( 2 + k ) ( OA + OB + OC + OD + OE ) = 0 ( fordi ( 2 + k ) ulik 0 ( > 2 ) ) OA + OB + OC + OD + OE = 0 ( s. s. v. )
La midtpunktet på $CD$ i den regulære femkanten være $I$. Da er $AB$ og $AE$ symmetriske omjosi skrev:b)
Vis at vektor AB + vektor AC + vektor AD + Vektor AE = 5 AO vektor
Denne får jeg heller ikke til. Forsøkt i mange, mange ganger
Takknemlig for hjelp
$AI$. Det samme gjelder for $AC$ og $AD$.
$\vec{AB} + \vec{AE} + \vec{AC} +\vec{AD} = 2(AO - AO * cos(72)) + 2(AO + AO * cos(36))$ =
$AO * (2 - 2 * cos(72) + 2 + 2 * cos(36)) = AO * (4 - 2 * (2 *cos(36)^2 -1) + 2 * cos(36))$
$= AO( 4 - 2 * (2 * \frac{{(1+\sqrt5)}^2}{16} -\frac{16}{16}) + 2 * \frac{(1+\sqrt5}4)$.
$= AO( 4 + \frac{2 + 2\sqrt5}{4} - \frac{2\sqrt5 -2}{4}) = AO(4 + \frac{2 + 2\sqrt5 -2\sqrt5 + 2}4)$
$ = 5AO$.[/quote]
En liten tilføyelse og rettelse av det ovenstående:
$\vec{AB} + \vec{AE} + \vec{AC} +\vec{AD}$ || $\vec{AO}$.
$|\vec{AB} + \vec{AE} + \vec{AC} +\vec{AD}| = 2(AO - AO * cos(72)) + 2(AO + AO * cos(36))$
Forøvrig fikk jeg rett i min intuisjon om at det fantes enklere (og mer elegante) løsninger. Viser til mattegjest sine bidrag over!
Tusen takk begge to. Det var ikke helt enkelt å se dette selv, men takknemlig for veldig gode forklaringer