Vektorregning av regulær 5-kant

[vidaas]

Hei. Jeg sliter veldig med ei spesiell oppgave. Den er som følger:

Gitt en regulær 5-kant ABCDE med sentrum i O

a) Vis at vektor OA + vektor OB + Vektor OC + vektor OD + vektor OE = 0 (Null vektor)

Denne får jeg bare ikke til. Forsøkt mange, mange ganger

b)
Vis at vektor AB + vektor AC + vektor AD + Vektor AE = 5 AO vektor
Denne får jeg heller ikke til. Forsøkt i mange, mange ganger

Takknemlig for hjelp

[Mattebruker]

Tips! Teikn figur. Da ser vi at OD ligg på halveringslinja til [tex]\angle[/tex]AOB, o.s.v......

Det betyr at [tex]\frac{1}{2}[/tex] ( [tex]\overrightarrow{OA}[/tex] + [tex]\overrightarrow{OB}[/tex] ) = - [tex]\overrightarrow{OD}[/tex] , o.s.v……...

[Gjest]

Tusen takk, da forsøker jeg videre med dette tipset

[Mattebruker]

Ser no at eg tok litt for lett på dette problemet. Vil heller skrive

[tex]\overrightarrow{OA}[/tex] + [tex]\overrightarrow{OB}[/tex] = -k [tex]\cdot[/tex] [tex]\overrightarrow{OD}[/tex] , k > 0

P.S. konstanten k er openbart forskjellig frå 2

[josi]

Hei. Jeg sliter veldig med ei spesiell oppgave. Den er som følger:

Gitt en regulær 5-kant ABCDE med sentrum i O

a) Vis at vektor OA + vektor OB + Vektor OC + vektor OD + vektor OE = 0 (Null vektor)

Denne får jeg bare ikke til. Forsøkt mange, mange ganger

b)
Vis at vektor AB + vektor AC + vektor AD + Vektor AE = 5 AO vektor
Denne får jeg heller ikke til. Forsøkt i mange, mange ganger

Takknemlig for hjelp

Tror at jeg, etter en del fumling, har funnet en løsning, men jeg har en mistanke om at det finnes enklere måter.

Siden den regulære femkanten med sentrum i origo, $O$, er symmetrisk om y-aksen, vil x-komponentene til alle vektorene kansellere, i.e. summen av dem vil være lik null. Men siden femkanten ikke er symmetrisk om x-aksen, er det ikke åpenbart, i hvert fall ikke for meg, at y-komponentene til disse kansellerer. Men ved å vise at de gjør det, viser vi også at summen av vektorene = 0.

La $\vec{OA} $ peke mot sørvest og $\vec{OB}$ peke mot sørøst. Sentralvinkelen, den mellom OA og OB, er $72$ grader. $|\vec{OA}| = 1 $. Da blir absoluttsummen av y-komponentene $\vec{OA}$ og $\vec{OB}$ =$2 * cos(36)$.
Summen av y-komponentene til $\vec{OC},\vec{OD}$ og $\vec{OE} = 2 cos(72) + 1$.
Så vi må vise$ 2 * cos(36) = 2 * cos(72) +1$.
Lommeregneren viser at $ 2 * cos(36) = 1.618033989 = 2 * cos(72) + 1$. Dette gir oss en pekepinn, men ikke noe bevis.
Det gylne snitt, $\Phi = \frac{1 + \sqrt5}2 = 1.618033989$. Sammenhengen mellom Det gylne snitt og den regulære femkanten kan ses ved den likebente trekanten $ABD$.Linjen $EC$ i

femkanten $ABCDE$ er parallelll med x-aksen og $AB$. Den skjærer $BD$ i $F$ og $OD$ i $G$.
Da vil $\frac{BF}{FD} = \Phi$, det gylne snitt. La midtpunktet på $AB$ være $H$. Da vil også
$\frac{HG}{GD} = \Phi$.

$HG = cos(36) + cos(72)$
$GD= 1 - cos(72)$.
Vi får følgende likning:

$ \frac{ cos(36) + cos(72)}{1 - cos(72)} =\frac{1 + \sqrt5}2$.
(Her må vi løsningen benytte oss av at $\sqrt{30 + 10\sqrt5} = \sqrt5 + 5$)
Det gir $cos(36) = \frac{1 + \sqrt5}4$, og dermed endelig $2cos36) = 1 + 2cos(72)$
Da er vi i land.

[josi]

b)
Vis at vektor AB + vektor AC + vektor AD + Vektor AE = 5 AO vektor
Denne får jeg heller ikke til. Forsøkt i mange, mange ganger

Takknemlig for hjelp[/quote]

La midtpunktet på $CD$ i den regulære femkanten være $I$. Da er $AB$ og $AE$ symmetriske om
$AI$. Det samme gjelder for $AC$ og $AD$.
$\vec{AB} + \vec{AE} + \vec{AC} +\vec{AD} = 2(AO - AO * cos(72)) + 2(AO + AO * cos(36))$ =
$AO * (2 - 2 * cos(72) + 2 + 2 * cos(36)) = AO * (4 - 2 * (2 *cos(36)^2 -1) + 2 * cos(36))$
$= AO( 4 - 2 * (2 * \frac{{(1+\sqrt5)}^2}{16} -\frac{16}{16}) + 2 * \frac{(1+\sqrt5}4)$.
$= AO( 4 + \frac{2 + 2\sqrt5}{4} - \frac{2\sqrt5 -2}{4}) = AO(4 + \frac{2 + 2\sqrt5 -2\sqrt5 + 2}4)$
$ = 5AO$.

[Mattebruker]

Alternativ løysing:

[tex]\overrightarrow{AB}[/tex] = [tex]\overrightarrow{AO}[/tex] + [tex]\overrightarrow{OB}[/tex]
.
.
.
.
AE-vektor = AO-vektor+ OE-vektor

Summer V.S. og H.S. Da får vi at

AB-vektor + …………. + AE-vektor = 4 AO-vektor + OB-vektor + ………. + OE-vektor .

Bruk så resultatet frå pkt. a ) , og vi er i mål .

[Mattebruker]

Punkt a: Alternativ løysing.

Teikn figur ! Da ser vi at OD ligg på halv. linja til vinkel AOB, OE ligg på halv. linja til vinkel BOC, o.s.v............

Da har vi at OA-vektor + OB-vektor = -k * OD-vektor , 0 < k < 2 ( hugs at abs( OA ) = abs( OB ) = abs ( OD ) )

OB-vektor + OC-vektor = - k * OE-vektor

OC-vektor + OD-vektor = - k * OA-vektor

OD-vektor + OE-vektor = -k * OB-vektor

OE-vektor + OA-vektor = - k * OC-vektor

Summerer og får

( 2 + k ) ( OA + OB + OC + OD + OE ) = 0 ( fordi ( 2 + k ) ulik 0 ( > 2 ) ) OA + OB + OC + OD + OE = 0 ( s. s. v. )

[josi]

b)
Vis at vektor AB + vektor AC + vektor AD + Vektor AE = 5 AO vektor
Denne får jeg heller ikke til. Forsøkt i mange, mange ganger

Takknemlig for hjelp

La midtpunktet på $CD$ i den regulære femkanten være $I$. Da er $AB$ og $AE$ symmetriske om
$AI$. Det samme gjelder for $AC$ og $AD$.
$\vec{AB} + \vec{AE} + \vec{AC} +\vec{AD} = 2(AO - AO * cos(72)) + 2(AO + AO * cos(36))$ =
$AO * (2 - 2 * cos(72) + 2 + 2 * cos(36)) = AO * (4 - 2 * (2 *cos(36)^2 -1) + 2 * cos(36))$
$= AO( 4 - 2 * (2 * \frac{{(1+\sqrt5)}^2}{16} -\frac{16}{16}) + 2 * \frac{(1+\sqrt5}4)$.
$= AO( 4 + \frac{2 + 2\sqrt5}{4} - \frac{2\sqrt5 -2}{4}) = AO(4 + \frac{2 + 2\sqrt5 -2\sqrt5 + 2}4)$
$ = 5AO$.[/quote]

En liten tilføyelse og rettelse av det ovenstående:

$\vec{AB} + \vec{AE} + \vec{AC} +\vec{AD}$ || $\vec{AO}$.
$|\vec{AB} + \vec{AE} + \vec{AC} +\vec{AD}| = 2(AO - AO * cos(72)) + 2(AO + AO * cos(36))$

Forøvrig fikk jeg rett i min intuisjon om at det fantes enklere (og mer elegante) løsninger. Viser til mattegjest sine bidrag over!

[Gjest]

Tusen takk begge to. Det var ikke helt enkelt å se dette selv, men takknemlig for veldig gode forklaringer