Vektorfunksjoner

[mtangen83]

Hvis man tenker seg en ball som beveger seg slik i planet:

r(t)=[2t+4,t^3+1], t er fra og med -2 til og med 2.

Og en annen ball som beveger seg fra A(0,2) til B(4,-2) i en rett linje på samme tid. Altså den starter i (0,2) når t=-2 og stopper i (4, -2) når t=2.

Hvordan går jeg fram for å lage en parameterfremstilling av den andre ballens bevegelse?

En retningsvektor for bevegelsen til ball to blir i mitt hode [4, -2] - [0,2] = [4, -4]

Når jeg bruker vanlig regel for parameterfremstilling får jeg x=0+4*t og y=2-4*t
Dette blir en linje som er altfor lang, i forhold til at ballen skal starte sin bevegelse i (0,2) når t=-2.

Håper jeg uttrykte meg forståelig, hvis ikke gi et pip

[SveinR]

Du har en korrekt generell parameterfremstilling og retningsvektor her, men husk at siden dette er en fysisk situasjon hvor vi ønsker at [tex]t[/tex] skal representere tiden, så må vi ta hensyn til det. Vi vet at på [tex]4[/tex] (sekunder? Antar det, selv om det ikke er oppgitt) skal den bevege seg fra punktet [tex]A[/tex] til punktet [tex]B[/tex]. Retningsvektoren/fartsvektoren skal da representere hvor langt den beveger seg på ett sekund.

I tillegg må du sørge for at punktet du får om du setter inn [tex]t=-2[/tex] blir [tex]A(0, 2)[/tex]. Slik som du setter opp parameterfremstillingen så får du punktet [tex]A[/tex] når [tex]t = 0[/tex].

[mtangen83]

Aha, tror jeg skjønner.

så etter at man har tatt hensyns til dette kommer frem til [t, 2-t] problemet nå er å få plassert denne på rett plass i koordinatsystemet. ballen skal bevege seg fra (0,2) til (4,-2), altså [4, -4]

Betyr det at jeg må finne et tall s slik at: s * [t, 2-t] = [4,-4] ? Jeg får ikke dette til å stemme.

[SveinR]

Du tenker litt vanskelig her. Du vet at mellom [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex] beveger ballen seg en lengde [tex]4[/tex] i [tex]x[/tex]-retning og en lengde [tex]-4[/tex] i [tex]y[/tex]-retning. Dette tar en tid på [tex]4[/tex] sekunder (eller iallefall [tex]4[/tex] tidsenheter, hva nå de er, men la oss for enkelhets skyld anta sekunder). Hvor langt beveger ballen seg da på ett sekund, i hver retning? Har du dette så har du fartsvektoren/retningsvektoren.

[mtangen83]

Okay, jeg forstår 1 i x-retning og -1 i y-retning pr tidsenhet.

det gir vel denne retningsvektoren [1, -1], som igjen gir denne parameterfremstillingen hvis vi tar utgangspunkt i startpunktet (0,2):

0+t * 1 = t
2+t *(-1)= 2-t

Altså [t, t-2]

Men denne stemmer jo ikke, Her vi jo ballen begynne sin bevegelse i (-2,4)

Beklager at jeg ikke ser dette, jeg har sett meg helt blind på det her tror jeg. XD

[SveinR]

Startpunktet er [tex](0, 2)[/tex], men denne skal inntreffe når [tex]t = -2[/tex]. I ditt uttrykk så får du ikke [tex](0, 2)[/tex] når [tex]t = -2[/tex], men du får det punktet når [tex]t=0[/tex].

Problemet kommer fordi vi er vant til den generelle formelen for parameterfremstilling for en rett linje
$\begin{matrix}x = x_0 + a t\\y = y_0 + b t\end{matrix}$

I denne formelen så ser vi at startpunktet, $(x_0, y_0)$, er det punktet vi får om vi setter inn $t=0$. Så om vi skal bruke denne formelen direkte, må vi vite hvilket punkt ballen er i når $t=0$. Dette kan vi finne ut greit, fordi vi vet at det er $2$ sekunder etter at den er i punktet $(0, 2)$. Og siden vi har fartsvektoren $[1, -1]$ ender vi da opp i punktet $(2, 0)$ etter $2$ sekunder.

Dermed får vi

$\begin{matrix}x = 2 + 1\cdot t\phantom{--}\\y = 0 + (-1)\cdot t\end{matrix}$

som forenkles til

$\begin{matrix}x = 2 + t\\y = -t\phantom{-}\end{matrix} $


Du kunne også løst dette på en annen måte, ved å bruke startpunktet $(0, 2)$ men midlertidig skrive om parameterfremstillingen til
$\begin{matrix}x = 0 + 1\cdot (t+2)\phantom{--}\\y = 2 + (-1)\cdot (t+2)\end{matrix}$
og så forenklet den. Ser du hva jeg har gjort her?

[mtangen83]

Det var utrolig godt forklart, jeg skjønte det nå.
Tusen takk