Hei
Treng hjelp med følgjande oppgåve
Sjå nedfor oppgåvetekst og mi løysing
Forstår at fordi volumet ikkje er null, kan ikkje vektorane ligge i same plan. V ≠ 0
Korleis kan eg rekne dette ut har prøvd meg nedfor på dette, men er på tynn is.
Z-koordinaten til til vektoren AC er null skaper problem for utrekninga
e) Sjå etter om vektorane (AB) ⃗, (AC) ⃗ og (AD) ⃗ ligg i same planet for nokre verdiar av t.
Vektorar i same planet:
Eit punkt A ligg i eit plan α utspent av vektorane u ⃗ og v ⃗. Då gjeld
P ligg i α ⇔ (AP) ⃗ = s · u ⃗ + t · v ⃗.
(AB) ⃗ = [2, 6, 4]
(AC) ⃗ = [ - 6, 6, 0]
(AD) ⃗ = [ - 3, 3, - 1]
(AD) ⃗ = s · (AB) ⃗ + t · (AC) ⃗
[ - 3, 3, - 1] = s · [2, 6, 4] + t · [ - 6, 6, 0]
[ - 3, 3, - 1] = [2s, 6s, 4s] + [ - 6t, 6t, 0t]
-3 = 2s – 6t, 3 = 6s + 6t, -1 = 4s + 0t
2s = 6t – 3 6s = 3 – 6t 4s = -1
s = 6t/2 - 3/2 s = 3/6 - 6/6t s = - 1/4
s = 3t - 3/2 s = 1/2 - t
s = 3t - 3/2 s = 1/2 - t
- 1/4 = 3t - 3/2 - 1/4 = 1/2 - t
3t = - 1/4 + (3 · 2)/(2 · 2) t = (1 · 2)/(2 · 2) + 1/4
3t = - 1/4 + 6/4 t = ( 1)/4 + 1/4
3t = 5/4 t = ( 2)/4
t = 5/4 · 1/3
t = 5/12
vektorar
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Kristian Saug
- Abel
- Innlegg: 637
- Registrert: 11/11-2019 18:23
Vanskelig når du ikke legger ut hele oppgaven.
-
geil
Hei!
Her er heile oppgåva med min løysing
Sigma R2 2015
Oppgåve 2.153
I ein pyramide ABCD er grunnflata ABC gitt ved punkta A (5, - 1, 1), B (7, 5, 5) og
C ( - 1, 5, 1). Toppunktet D har koordinatane (2, 2, 0).
a) Rekn ut arealet av trekanten ABC
b) Planet gjennom A, B og C kallar vi α. Finn likninga for α.
c) Rekn ut vinkelen mellom sidekanten BD og planet α. Finn volumet til pyramiden.
Vi tenkjer oss at toppunktet D har koordinatane D (t2 – t, - t + 4, t – 2).
d) Finn eit uttrykk for volumet V av pyramiden ABCD. Finn eventuelle ekstremalverdiar for volumet V
e) Sjå etter om vektorane (AB) ⃗, (AC) ⃗ og (AD) ⃗ ligg i same planet for nokre verdiar av t.
a) Rekn ut arealet av trekanten ABC
(AB) ⃗ = [7 - 5, 5 - (-1), 5 - 1] = [2, 6, 4]
(AC) ⃗ = [ - 1 - 5, 5 - (-1), 1 - 1] = [ - 6, 6, 0]
(AB) ⃗ x (AC) ⃗ = [2, 6, 4] x [ - 6, 6, 0]
(_-6^2) _(6 )^6 〖⤨ 〗_( 0)^( 4 ) 〖⤨ 〗_(-6)^( 2) 〖⤨ 〗_( 6 )^( 6 ) _( 0)^( 4)
[((6) · (0)) - (6) · (4)), (4) · (-6) - ((0) · (2)), ((2) · (6)) – ((-6) · (6))]
[(0 - 24), (-24 - 0), (12 + 36)] = [- 24,- 24,48] = -24 · [1,1,-2]
T = 1/2 · |(AB) ⃗ x (AC) ⃗ | = 1/2 · |[- 24,- 24,48]| = 1/2 · √(〖(-24)〗^2+〖(-24)〗^2+48^2 )
= 1/2 · √(576+576+2304) = 1/2 · √3456 = 1/2 · √576 · √6 = 1/2 · 24√6 = 12√6 = 29,4
b) Planet gjennom A, B og C kallar vi α. Finn likninga for α.
(n_α ) ⃗ = [1,1,-2], A (5, - 1, 1)
a (〖x-x〗_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0
1(x-5) + 1(y -(-1)) - 2(z -1) = 0
x - 5 + y + 1 - 2z + 2 = 0
x + y - 2z - 5 + 1 + 2 = 0
x + y - 2z - 2 = 0
α: x + y - 2z - 2 = 0
c) Rekn ut vinkelen mellom sidekanten BD og planet α. Finn volumet til pyramiden.
(BD) ⃗ = [2 - 7, 2 - 5, 0 - 5] = [ - 5, - 3, - 5]
|(BD) ⃗ | = |[-5,-3,-5]| = √((-〖5)〗^2+〖(-3)〗^2+〖(-5)〗^2 ) = √( 25+9+25) = √( 59)
|(n_α ) ⃗ | = |[1,1,- 2 ]| = √(1^2+1^2+〖(-2)〗^2 ) = √( 1+1+4) = √( 6)
(BD) ⃗ · (n_α ) ⃗ = [-5,-3,-5]· [1,1,- 2 ] = ((-5)·1+(-3)·1+(-5)·(-2) = (-5 -3 + 10) = 2
cos ((BD) ⃗,(r_m ) ⃗ ) = ((BD) ⃗ · (n_α ) ⃗)/(|(BD) ⃗ | · |(n_α ) ⃗ | ) = 2/( √59 · √6) = 2/√356 = 2/(√4 · √89) = (2√89)/(2 · √89 · √89) = 1/89 √89 = 0,1060
cos – 1 (0,1060) = 83,92°
∠ ((r_l ) ⃗,(r_m ) ⃗ ) = 90°- 83,9° = 6,1°
Finn volumet til pyramiden.
(AD) ⃗ = [2 - 5, 2 - (-1), 0 - 1] = [ - 3, 3, - 1]
V = 1/6 · |((AB) ⃗ x (AC) ⃗)·(AO) ⃗ | = 1/6 · |[- 24,- 24,48] · [ - 3,3,- 1]|
= 1/6 · |(72-72-48)| = 1/6 · |- 48| = (|- 48| )/6 = 48/6 = 8
Vi tenkjer oss at toppunktet D har koordinatane D (t2 – t, - t + 4, t – 2).
d) Finn eit uttrykk for volumet V av pyramiden ABCD. Finn eventuelle ekstremalverdiar for volumet V
(AD) ⃗ = [t2 – t - 5, - t + 4 - (-1), t – 2 - 1] = [t2 – t - 5, - t + 5, t - 3]
V = 1/6 · |((AB) ⃗ x (AC) ⃗)·(AO) ⃗ | = 1/6 · |[- 24,- 24,48] · [t^2 – t - 5,- t + 5,t - 3]|
= 1/6 · |(-24t^2+24t+120+24t-120+48t-144)|
= 1/6 · |(-24t^2+96t-144)| = 1/6 · 24 · |(〖-t〗^2+4t-6)| = 4 · (t^2-4t+6)
Finn eventuelle ekstremalverdiar for volumet V
Deriverer uttrykket i parentesen til volumet og finn ekstramalverdiane
f (t) = t2 – 4t + 6
fʹ (t) = 2t – 4
Finn nullpunkta til fʹ (t)
fʹ (t) = 0
2t – 4 = 0
2t = 4
t = 4/2
t = 2
Set inn t = 2 i utrykket for V
V = 4 · (t^2-4t+6)
= 4 · (2^2-4 · 2+6)
= 4 · (4 – 8 + 6)
= 4 · 2
= 8
V = 8, for t = 2
e) Sjå etter om vektorane (AB) ⃗, (AC) ⃗ og (AD) ⃗ ligg i same planet for nokre verdiar av t.
Vektorar i same planet:
Eit punkt A ligg i eit plan α utspent av vektorane u ⃗ og v ⃗. Då gjeld
P ligg i α ⇔ (AP) ⃗ = s · u ⃗ + t · v ⃗.
(AB) ⃗ = [2, 6, 4]
(AC) ⃗ = [ - 6, 6, 0]
(AD) ⃗ = [ - 3, 3, - 1]
(AD) ⃗ = s · (AB) ⃗ + t · (AC) ⃗
[ - 3, 3, - 1] = s · [2, 6, 4] + t · [ - 6, 6, 0]
[ - 3, 3, - 1] = [2s, 6s, 4s] + [ - 6t, 6t, 0t]
x-koordinatar
-3 = 2s – 6t,
2s = 6t – 3
s = 6t/2 - 3/2
s = 3t - 3/2
y-koordinatar
3 = 6s + 6t,
6s = 3 – 6t
s = 3/6 - 6/6t
s = 1/2 - t
z-koordinatar
-1 = 4s + 0t
4s = -1
s = - 1/4
Set s inn i x-koordinaten og y-koordinaten og finn t
x-koordinaten
s = 3t - 3/2
- 1/4 = 3t - 3/2
3t = - 1/4 + (3 · 2)/(2 · 2)
3t = - 1/4 + 6/4
3t = 5/4
t = 5/4 · 1/3
t = 5/12
y-koordinaten
s = 1/2 - t
- 1/4 = 1/2 - t
t = (1 · 2)/(2 · 2) + 1/4
t = ( 1)/4 + 1/4
t = ( 2)/4
t = ( 1)/2
Fordi volumet ikkje er null, kan ikkje vektorane ligge i same plan.
V ≠ 0
Her er heile oppgåva med min løysing
Sigma R2 2015
Oppgåve 2.153
I ein pyramide ABCD er grunnflata ABC gitt ved punkta A (5, - 1, 1), B (7, 5, 5) og
C ( - 1, 5, 1). Toppunktet D har koordinatane (2, 2, 0).
a) Rekn ut arealet av trekanten ABC
b) Planet gjennom A, B og C kallar vi α. Finn likninga for α.
c) Rekn ut vinkelen mellom sidekanten BD og planet α. Finn volumet til pyramiden.
Vi tenkjer oss at toppunktet D har koordinatane D (t2 – t, - t + 4, t – 2).
d) Finn eit uttrykk for volumet V av pyramiden ABCD. Finn eventuelle ekstremalverdiar for volumet V
e) Sjå etter om vektorane (AB) ⃗, (AC) ⃗ og (AD) ⃗ ligg i same planet for nokre verdiar av t.
a) Rekn ut arealet av trekanten ABC
(AB) ⃗ = [7 - 5, 5 - (-1), 5 - 1] = [2, 6, 4]
(AC) ⃗ = [ - 1 - 5, 5 - (-1), 1 - 1] = [ - 6, 6, 0]
(AB) ⃗ x (AC) ⃗ = [2, 6, 4] x [ - 6, 6, 0]
(_-6^2) _(6 )^6 〖⤨ 〗_( 0)^( 4 ) 〖⤨ 〗_(-6)^( 2) 〖⤨ 〗_( 6 )^( 6 ) _( 0)^( 4)
[((6) · (0)) - (6) · (4)), (4) · (-6) - ((0) · (2)), ((2) · (6)) – ((-6) · (6))]
[(0 - 24), (-24 - 0), (12 + 36)] = [- 24,- 24,48] = -24 · [1,1,-2]
T = 1/2 · |(AB) ⃗ x (AC) ⃗ | = 1/2 · |[- 24,- 24,48]| = 1/2 · √(〖(-24)〗^2+〖(-24)〗^2+48^2 )
= 1/2 · √(576+576+2304) = 1/2 · √3456 = 1/2 · √576 · √6 = 1/2 · 24√6 = 12√6 = 29,4
b) Planet gjennom A, B og C kallar vi α. Finn likninga for α.
(n_α ) ⃗ = [1,1,-2], A (5, - 1, 1)
a (〖x-x〗_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0
1(x-5) + 1(y -(-1)) - 2(z -1) = 0
x - 5 + y + 1 - 2z + 2 = 0
x + y - 2z - 5 + 1 + 2 = 0
x + y - 2z - 2 = 0
α: x + y - 2z - 2 = 0
c) Rekn ut vinkelen mellom sidekanten BD og planet α. Finn volumet til pyramiden.
(BD) ⃗ = [2 - 7, 2 - 5, 0 - 5] = [ - 5, - 3, - 5]
|(BD) ⃗ | = |[-5,-3,-5]| = √((-〖5)〗^2+〖(-3)〗^2+〖(-5)〗^2 ) = √( 25+9+25) = √( 59)
|(n_α ) ⃗ | = |[1,1,- 2 ]| = √(1^2+1^2+〖(-2)〗^2 ) = √( 1+1+4) = √( 6)
(BD) ⃗ · (n_α ) ⃗ = [-5,-3,-5]· [1,1,- 2 ] = ((-5)·1+(-3)·1+(-5)·(-2) = (-5 -3 + 10) = 2
cos ((BD) ⃗,(r_m ) ⃗ ) = ((BD) ⃗ · (n_α ) ⃗)/(|(BD) ⃗ | · |(n_α ) ⃗ | ) = 2/( √59 · √6) = 2/√356 = 2/(√4 · √89) = (2√89)/(2 · √89 · √89) = 1/89 √89 = 0,1060
cos – 1 (0,1060) = 83,92°
∠ ((r_l ) ⃗,(r_m ) ⃗ ) = 90°- 83,9° = 6,1°
Finn volumet til pyramiden.
(AD) ⃗ = [2 - 5, 2 - (-1), 0 - 1] = [ - 3, 3, - 1]
V = 1/6 · |((AB) ⃗ x (AC) ⃗)·(AO) ⃗ | = 1/6 · |[- 24,- 24,48] · [ - 3,3,- 1]|
= 1/6 · |(72-72-48)| = 1/6 · |- 48| = (|- 48| )/6 = 48/6 = 8
Vi tenkjer oss at toppunktet D har koordinatane D (t2 – t, - t + 4, t – 2).
d) Finn eit uttrykk for volumet V av pyramiden ABCD. Finn eventuelle ekstremalverdiar for volumet V
(AD) ⃗ = [t2 – t - 5, - t + 4 - (-1), t – 2 - 1] = [t2 – t - 5, - t + 5, t - 3]
V = 1/6 · |((AB) ⃗ x (AC) ⃗)·(AO) ⃗ | = 1/6 · |[- 24,- 24,48] · [t^2 – t - 5,- t + 5,t - 3]|
= 1/6 · |(-24t^2+24t+120+24t-120+48t-144)|
= 1/6 · |(-24t^2+96t-144)| = 1/6 · 24 · |(〖-t〗^2+4t-6)| = 4 · (t^2-4t+6)
Finn eventuelle ekstremalverdiar for volumet V
Deriverer uttrykket i parentesen til volumet og finn ekstramalverdiane
f (t) = t2 – 4t + 6
fʹ (t) = 2t – 4
Finn nullpunkta til fʹ (t)
fʹ (t) = 0
2t – 4 = 0
2t = 4
t = 4/2
t = 2
Set inn t = 2 i utrykket for V
V = 4 · (t^2-4t+6)
= 4 · (2^2-4 · 2+6)
= 4 · (4 – 8 + 6)
= 4 · 2
= 8
V = 8, for t = 2
e) Sjå etter om vektorane (AB) ⃗, (AC) ⃗ og (AD) ⃗ ligg i same planet for nokre verdiar av t.
Vektorar i same planet:
Eit punkt A ligg i eit plan α utspent av vektorane u ⃗ og v ⃗. Då gjeld
P ligg i α ⇔ (AP) ⃗ = s · u ⃗ + t · v ⃗.
(AB) ⃗ = [2, 6, 4]
(AC) ⃗ = [ - 6, 6, 0]
(AD) ⃗ = [ - 3, 3, - 1]
(AD) ⃗ = s · (AB) ⃗ + t · (AC) ⃗
[ - 3, 3, - 1] = s · [2, 6, 4] + t · [ - 6, 6, 0]
[ - 3, 3, - 1] = [2s, 6s, 4s] + [ - 6t, 6t, 0t]
x-koordinatar
-3 = 2s – 6t,
2s = 6t – 3
s = 6t/2 - 3/2
s = 3t - 3/2
y-koordinatar
3 = 6s + 6t,
6s = 3 – 6t
s = 3/6 - 6/6t
s = 1/2 - t
z-koordinatar
-1 = 4s + 0t
4s = -1
s = - 1/4
Set s inn i x-koordinaten og y-koordinaten og finn t
x-koordinaten
s = 3t - 3/2
- 1/4 = 3t - 3/2
3t = - 1/4 + (3 · 2)/(2 · 2)
3t = - 1/4 + 6/4
3t = 5/4
t = 5/4 · 1/3
t = 5/12
y-koordinaten
s = 1/2 - t
- 1/4 = 1/2 - t
t = (1 · 2)/(2 · 2) + 1/4
t = ( 1)/4 + 1/4
t = ( 2)/4
t = ( 1)/2
Fordi volumet ikkje er null, kan ikkje vektorane ligge i same plan.
V ≠ 0
-
Kristian Saug
- Abel
- Innlegg: 637
- Registrert: 11/11-2019 18:23
Riktig!
[tex]V(t)=4(t^{2}-4t+6)=0[/tex]
har ingen løsning.
Dermed kan ikke [tex]\overrightarrow{AB}[/tex], [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] og [tex]\overrightarrow{AD}[/tex] ligge i samme plan for noen verdi av [tex]t[/tex].
Jeg har sett gjennom hele løsningen din (a-e). Godt jobbet!
[tex]V(t)=4(t^{2}-4t+6)=0[/tex]
har ingen løsning.
Dermed kan ikke [tex]\overrightarrow{AB}[/tex], [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] og [tex]\overrightarrow{AD}[/tex] ligge i samme plan for noen verdi av [tex]t[/tex].
Jeg har sett gjennom hele løsningen din (a-e). Godt jobbet!
-
geil
Det var altså riktig utrekninga på e) der eg fann s-verdien frå z-koordinaten og
sette den inn i x-koordinaten og y-koordinaten og fann at t-verdien ikkje passa
i likningane.
z-koordinatar
-1 = 4s + 0t
4s = -1
s = - 1/4
sette den inn i x-koordinaten og y-koordinaten og fann at t-verdien ikkje passa
i likningane.
z-koordinatar
-1 = 4s + 0t
4s = -1
s = - 1/4
-
Kristian Saug
- Abel
- Innlegg: 637
- Registrert: 11/11-2019 18:23
Du kan gjøre oppgaven så enkelt som jeg har vist!