Kvadratsetninger og brøk

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
Prikkenoveri
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 6
Registrert: 21/04-2020 21:04

Hei. Har en oppgave jeg ikke skjønner hvordan jeg skal løse. Den lyder som følger:
\frac{1-x}{\:x-1}

Noen som kan hjelpe meg, ikke nødvendigvis med svaret, men hvordan jeg må gå frem?
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Telleren kan omskrives slik: $1-x = \overbrace{\color{blue}{(-1)}(-1)}^1 \cdot \overbrace{\color{blue}{(-1)}x}^{-x} = \color{blue}{(-1)}(-1+x) = (-1)(x-1)$

Med andre ord har vi $\frac{(-1)(x-1)}{x-1}$

Ser du hvordan dette kan forkortes?
Bilde
Prikkenoveri
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 6
Registrert: 21/04-2020 21:04

Supert. Å forkorte den videre er innlysende, men av ren nysgjerrighet. Hvorfor kan telleren omgjøres med den metoden uten videre?
Er 1-x i teorien det samme som x+1?
Antar at det er noe jeg allerede burde ha kunnet.
SveinR
Abel
Abel
Innlegg: 635
Registrert: 22/05-2018 22:12

$1-x$ er ikke det samme som $x+1$, men det er det samme som $-(x-1)$. Løser vi opp parentesene blir ikke dette det samme som $x+1$: Løser vi opp får vi $-x+1$. Som jo er lik $1-x$, som vi ville at det skule være.

En annen måte å se sammenhengen mellom $1-x$ og $x-1$ på kan vi få ved å sette inn ulike tall for $x$:

$1-9 = -8$, men $9 - 1 = 8$

$1-5 = -4$, men $5-1 = 4$

$1-7 = -6$, men $7-1 = 6$.

I alle tilfellene uttrykker de den samme verdien, men med ulikt fortegn.
Prikkenoveri
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 6
Registrert: 21/04-2020 21:04

Jeg tror jeg forstår prinsippet, men jeg klarer ikke helt å forstå utregningen. Kan man vende alle slike tall på samme måte uavhengig om det er teller eller nevner? Må det være en brøk i det hele tatt?
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Alle tall $a-b$ kan skrives som $-(b-a)$. Det har i grunn ingenting med selve brøken å gjøre. Men det er en fin ting å ha i bakhodet når man skal forkorte brøker.

Som et eksempel, betrakt $(-1)(x-1)$. Gang inn $(-1)$ i den andre parentesen, og se hva resultatet blir.
Bilde
Prikkenoveri
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 6
Registrert: 21/04-2020 21:04

Da forstår jeg takk.

Jeg slenger ut et nytt spørsmål
Det har låst seg i topplokket, og jeg får ikke til å løse denne.
Skjermbilde 2020-04-22 kl. 17.48.41.png
Skjermbilde 2020-04-22 kl. 17.48.41.png (12.02 kiB) Vist 7300 ganger
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 5648
Registrert: 24/05-2009 14:16
Sted: NTNU

Det finnes enklere metoder men hva får du når du skriver ut

$(x-1)^2 + 2(x - 1)$

?
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Prikkenoveri
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 6
Registrert: 21/04-2020 21:04

Jeg bruker 2.ks og får xˆ2-2x+1+2x = Xˆ2-1/2xˆ2-1. Faktoriserer nevner til 2(Xˆ2-1). Sitter da igjen med (x+1)(x-1)/2(x+1)(x-1). Som da igjen blir 1/2. I mitt hode.
I og med at jeg vet at svaret blir 1/2 er jeg usikker på om jeg har blitt "blendet" av svaret.

Om dette er riktig holdt det med din kommentar Nebuchadnezzar, om ikke er jeg lost.
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 5648
Registrert: 24/05-2009 14:16
Sted: NTNU

Edit: Ser helt riktig ut dette =)
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Svar