Jeg trenger hjelp til denne oppgaven:
Tredjegradspolynomet P har et toppunkt i (-1,17) og et vendepunkt i (1,1).
Finn fuksjonsutrykket P(x)
På forhånd takk:)
Derivasjon - krumming og vendepunkter
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
P(x)=Ax[sup]3[/sup]+Bx[sup]2[/sup]+Cx+D
P`(-1)=17
P``(1)=1
P(-1)=17
P(1)=1
Dette gir deg fire likninger og fire ukjente koefissienter.
P`(-1)=17
P``(1)=1
P(-1)=17
P(1)=1
Dette gir deg fire likninger og fire ukjente koefissienter.
-
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Nå er P''(x) = ax + b hvor a og b er konstanter. Siden P har et vendepunkt i (1,1), må
P''(1) = a + b = 0,
så b = -a. Ergo blir P''(x) = ax - a. Ved å integrere, får vi at P'(x) = (a/2)x[sup]2[/sup] - ax + c der c er en konstant. I.o.m. at (-1,17) er et toppunkt, må
P'(-1) = a/2 + a + c = 3a/2 + c = 0,
dvs. at c = -3a/2. Følgelig blir P'(x) = (a/2)x[sup]2[/sup] - ax - 3a/2. Integrerer vi igjen, blir resultatet P(x) = (a/6)x[sup]3[/sup] - (a/2)x[sup]2[/sup] - (3a/2)x + d hvor d er en konstant. Ettersom (1,1) og (-1,17) er punkter på grafen til P, må
P(1) = a/6 - a/2 - 3a/2 + d = -11a/6 + d = 1,
P(-1) = -a/6 - a/2 + 3a/2 + d = 5a/6 + d = 17.
Løser vi dette likningssystemet, finner vi at a=6 og d=12. Dermed kan vi konkludere med at
P(x) = x[sup]3[/sup] - 3x[sup]2[/sup] - 9x + 12.
P''(1) = a + b = 0,
så b = -a. Ergo blir P''(x) = ax - a. Ved å integrere, får vi at P'(x) = (a/2)x[sup]2[/sup] - ax + c der c er en konstant. I.o.m. at (-1,17) er et toppunkt, må
P'(-1) = a/2 + a + c = 3a/2 + c = 0,
dvs. at c = -3a/2. Følgelig blir P'(x) = (a/2)x[sup]2[/sup] - ax - 3a/2. Integrerer vi igjen, blir resultatet P(x) = (a/6)x[sup]3[/sup] - (a/2)x[sup]2[/sup] - (3a/2)x + d hvor d er en konstant. Ettersom (1,1) og (-1,17) er punkter på grafen til P, må
P(1) = a/6 - a/2 - 3a/2 + d = -11a/6 + d = 1,
P(-1) = -a/6 - a/2 + 3a/2 + d = 5a/6 + d = 17.
Løser vi dette likningssystemet, finner vi at a=6 og d=12. Dermed kan vi konkludere med at
P(x) = x[sup]3[/sup] - 3x[sup]2[/sup] - 9x + 12.